直线与方程_章节学习

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题型：填空题

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填空题

若直线2x+ay+3=0的倾斜角为120°，则a的值是______．

正确答案

∵直线2x+ay+3=0 即 y= x-3，斜率等于，又直线2x+ay+3=0的倾斜角为120°，

∴直线的斜率tan120°=，解得 a=．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

过点（-1，2）的直线l被圆x2+y2-2x-2y+1=0截得的弦长，则直线l的斜率为______．

正确答案

设直线的斜率为k，则直线方程为：y-2=k（x+1）；圆的圆心坐标（1，1）半径为1，所以圆心到直线的距离d=，

所以(

|2k+1|

1 +k2

)2+(

2

)2=1，解得k=-1或k=-

故答案为：-1或-

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题型：填空题

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填空题

设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（-1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于______．

正确答案

由题意设直线l的方程为my=x+1，联立得到y2-4my+4=0，△=16m2-16=16（m2-1）＞0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．

∴y1+y2=4m，∴y0==2m，∴x0=my0-1=2m2-1．

∴Q（2m2-1，2m），

由抛物线C：y2=4x得焦点F（1，0）．

∵|QF|=2，∴=2，化为m2=1，解得m=±1，不满足△＞0．

故满足条件的直线l不存在．

故答案为不存在．

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题型：简答题

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简答题

过点M（-2，0）的直线m与椭圆+y2=1交于P1，P2，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1（k1≠0），直线OP的斜率为k2，求k1k2的值．

正确答案

过点M（-2，0）的直线m的方程为 y-0=k1（x+2 ），代入椭圆的方程化简得

（2k12+1）x2+8k12x+8k12-2=0，∴x1+x2=，∴P的横坐标为，

P的纵坐标为k1（x1+2 ）=，即点P（，），

直线OP的斜率k2=，

∴k1k2=-．

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题型：填空题

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填空题

已知直线m的方程是y=2x-1，若直线l的倾斜角是直线m的倾斜角的一半，则直线l的斜率等于______．

正确答案

设直线l的倾斜角为α，则直线m的倾斜角为2α，其斜率tan2α=2

利用二倍角的正切函数公式得=2

解得tanα=或

∵tan2α=2＞0

∴2α是锐角，

则α∈（0，）

∴tanα=

故答案为：

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题型：简答题

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简答题

已知抛物线C：y2=4x，直线l：y=kx+b与C交于A，B两点，O为坐标原点．

（1）当k=1，且直线l过抛物线C的焦点时，求|AB|的值；

（2）当直线OA，OB的倾斜角之和为45°时，求k，b之间满足的关系式，并证明直线l过定点．

正确答案

（1）抛物线C：y2=4x的焦点为（1，0）

由已知l：y=x-1，设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立，消y得x2-6x+1=0，

所以x1+x2=6，x1x2=1

|AB|====8

（2）联立，消x得ky2-4y+4b=0（*）（依题意k≠0）

y1+y2=，y1y2=，

设直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，斜率分别为k1，k2，

则α+β=45°，tan（α+β）=tan45°，=1

其中k1==，k2=，

代入上式整理得y1y2-16=4（y1+y2）

所以-16=，即b=4k+4，

此时，使（*）式有解的k，b有无数组

直线l的方程为y=kx+4k+4，整理得k（x+4）=y-4

消去，即时k（x+4）=y-4恒成立，

所以直线l过定点（-4，4）

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题型：填空题

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填空题

直线2x-y+1=0的倾斜角为______．（用反三角函数表示）

正确答案

∵直线2x-y+1=0的斜率为2，设此直线的倾斜角为θ，则θ为锐角，且tanθ=2．

∴θ=arctan2，

故答案为：arctan2．

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题型：填空题

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填空题

在直角坐标系xOy中．直线l过抛物线y2=4x的焦点F．且与该抛物线相交于A、B两点．其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°．则△OAF的面积为______．

正确答案

抛物线y2=4x的焦点F的坐标为（1，0）

∵直线l过F，倾斜角为60°

∴直线l的方程为：y=(x-1)，即x=y+1

代入抛物线方程，化简可得y2-y-4=0

∴y=2，或y=-

∵A在x轴上方

∴△OAF的面积为×1×2=

故答案为：

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题型：填空题

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填空题

直线xcosα+y+2=0的倾斜角范围为______．

正确答案

由于直线xcosα+y+2=0的斜率为，由于-1≤cosα≤1，

∴-≤≤．

设此直线的倾斜角为θ，则0≤θ＜π，故-≤tanθ≤．

∴θ∈[0，]∪[，π)．

故答案为：[0，]∪[，π)．

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题型：填空题

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填空题

过点A（4，0）和点B（0，3）的直线的倾斜角是θ=π-arctanθ=π-arctan．

．

正确答案

∵直线过点A（4，0）和点B（0，3）

故直线的斜率kAB===-

∵tanθ＜0，

∴θ为钝角，

∴θ=π-arctan．

故答案为：θ=π-arctan

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题型：填空题

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填空题

△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（-a，0），（a，0）（a>0），边AC，BC所在直线的斜率之积等于k。

①若k=-1，则△ABC是直角三角形；

②若k=1，则△ABC是直角三角形；

③若k=-2，则△ABC是锐角三角形；

④若k=2，则△ABC是锐角三角形。

以上四个命题中正确命题的序号是（）。

正确答案

①③

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题型：填空题

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填空题

直线x-y+3=0的倾斜角为______．

正确答案

直线x-y+3=0的斜率为1；所以直线的倾斜角为45°．

故答案为45°．

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题型：填空题

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填空题

若直线m被两平行线l1：x-y+1与l2：x-y+3=0所截得的线段的长为，则直线m的倾斜角是______．

正确答案

两平行线l1：x-y+1与l2：x-y+3=0之间的距离为：=，

所以直线m就是两条平行线的垂线，斜率为-1，直线m的倾斜角为135°．

故答案为：135°．

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题型：填空题

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填空题

若直线ax+by+c=0的一个法向量=(，1)，则这条直线的倾斜角为______．

正确答案

∵直线ax+by+c=0的一个法向量=(，1)

∴直线ax+by+c=0满足

a-b=0

故线ax+by+c=0的斜率为-=-

故直线的倾斜角为

故答案为：

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题型：填空题

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填空题

若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的斜率为（）；在极坐标系中，直线m的方程为，则点A（2，）到直线m的距离为（）。

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