热门试卷

解：（1）∵点A（﹣1，0），B（1，0），动点P（x，y），

∴ ， ，

∵PA与PB的斜率之积为3，

∴ ，x≠±1，

∴ ．

（2）①∵∠CFB=α，∠CBF=β，β为锐角，

∵tanα= ，tanβ= ， ，

∴tan2β= = = =tanα．

②由题意C（x1，y1），y1＞0，D（x2，y2），y2＜0，

联立 ，得2y2+6by﹣9b2+9=0，

则△=36b2﹣4×2（﹣9b2+9）＞0，

∴ ， y1+y2=﹣3b， ，

∴b2＞1．故y2﹣y1=﹣3b， ，

∴b2＞1，故 ，

设∠DFB=γ，∠DBF=θ，

∵ ，tan ， ，

∴tan2θ= = =﹣ =tanγ，

∵2θ∈（0，π），γ∈（0，π），

∴γ=2θ，即∠DFB=2∠DBF，

∵α，2β∈（0，π），

∴由（2）①得α=2β，即∠CFB=2∠CBF，

又∠DFB=2∠DBF，

∴∠FCB与∠FDB互补，即∠FCB+∠FDB=π，

∴2π﹣3∠CBF﹣3∠DBF=π，则 ，

由到角公式，得 = ， ∴ = ，

即 ，

∴4b+4=﹣ ，解得b=﹣ ，满足b2＞1，

∴b=﹣ ．

解：（Ⅰ）如图，设M为动圆圆心，为记为F，

过点M作直线的垂线，垂足为N，

由题意知：|MF|=|MN|，即动点M到定点F与定直线的距离相等，

由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，

所以轨迹方程为；

（Ⅱ）如图，设，

由题意得（否则）且，

所以直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+b，

显然，

将y=kx+b与联立消去x，得，

由韦达定理知，①

（1）当时，即时，，

所以，，

所以，

由①知：，所以b=2pk，

因此直线AB的方程可表示为y=kx+2pk，即k（x+2p）-y=0，

所以直线AB恒过定点（-2p，0）；

（2）当时，由，

得，

将①式代入上式整理化简可得：，

所以，

此时，直线AB的方程可表示为，

即，

所以直线AB恒过定点；

所以由（1）（2）知，当时，直线AB恒过定点（-2p，0）；

当时直线AB恒过定点。

解：（Ⅰ）由题设知，F，C，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

直线l方程为x＝my＋，

代入抛物线方程y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0，

y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，

不妨设y1＞0，y2＜0，

则，

，

∴tan∠ACF＝tan∠BCF，所以∠ACF＝∠BCF。

（Ⅱ）如（Ⅰ）所设y1＞0，tan∠ACF＝＝1，

当且仅当y1＝p时取等号，

此时∠ACF取最大值，∠ACB＝2∠ACF取最大值，

并且A（，p），B（，－p），|AB|＝2p。

解：（Ⅰ）F抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F，

设M，，由题意可知，

则点Q到抛物线C的准线的距离为，解得，

于是抛物线C的方程为。

（Ⅱ）假设存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M，

而，，，

，，

由可得，，

则，即，解得，

点M的坐标为

（Ⅲ）若点M的横坐标为，则点M，。

由可得，

设，

圆，

，

于是，

令，

设，，

当时，，

即当时.

故当时，。

解：（1）当抛物线焦点在x轴上时，设抛物线方程y2=2px，

∵，

∴p=2a，

∴y2=4ax；

当抛物线焦点在y轴上时，设抛物线方程x2=2py，

∵，

∴方程无解，

∴抛物线不存在。

（2）设A1（as2，2as）、B1（at2，2at），T（m，0）（m＞a），

∵，

∴，

∴as2+（m-a）s-m=0，

∵（as+m）（s-1）=0，

∴，

∴A1（，-2m），

∵，

∴，

∵2at2+（m-4a）t-2m=0，

∴（2at+m）（t-2）=0，

∴t=，

∴B1（，-m），

∴的直线方程为y+2m=，

∵直线的斜率为在（a，+∞）单调，

∴所以集合M中的直线必定相交，

∵直线的横截距为在（a，+∞）单调，纵截距为在（a，+∞）单调，

∴任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上。

解：（1）直线参数方程可以化，

根据直线参数方程的意义，

这条经过点，倾斜角为60°的直线．

（2）l的直角坐标方程为，

的直角坐标方程为，

所以圆心到直线l的距离，

∴．

解：（Ⅰ）当n≥2时，由已知得，

因为， …………①

于是， …………②

由②-①得， …………③

于是， …………④

由④-③得， …………⑤

所以(n≥2)是常数列。

（Ⅱ）由①有，

由③有，

而⑤表明：数列分别是以a2、a3为首项，6为公差的等差数列，

所以，

数列是单调递增数列对任意的k∈N*成立

，

即所求a的取值集合是。

（Ⅲ）弦，

任取x0，设函数，

记，

当上为增函数，

当上为减函数，

所以，从而f′（x）＞0，

所以f（x）在上都是增函数；

由（Ⅱ）知，当a∈M时，数列单调递增，

取；

取；

所以的斜率随n单调递增。

（Ⅰ）设点M（x，y），P（x0，y0），则由题意知P0（x0，0）．

由=(x0-x，-y)，=（0，-y0），且=，得（x0-x，-y）=（0，-y0）．

所以，于是，

又x02+y02=4，所以x2+y2=4．

所以，点M的轨迹C的方程为+=1．

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．

联立，得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2-3）=0．

所以，△=（8mk）2-16（3+4k2）（m2-3）＞0，即3+4k2-m2＞0．①，且，

（1）依题意，kAB2=kOA•kOB，即k2=，所以k2=•．

所以x1x2k2=k2x1x2+km（x1+x2）+m2．

所以km（x1+x2）+m2=0，即km（-）+m2=0．

因为m≠0，所以k（-）+1=0，解得k2=．

将得k2=代入①，得m2＜6．

所以，m的取值范围是（-，0）∪（0，）．

（2）曲线+=1与x轴正半轴的交点为Q（2，0）．

依题意，⊥，即•=0．

于是（2-x1，-y1）•（2-x2，-y2）=0．

∴x1 x2-2（x1+x2）+4+y1y2=0，即x1 x2-2（x1+x2）+4+（kx1+m）（kx2+m）=0，

∴（k2+1）•+（km-2）•（-）+4+m2=0，

化简，得7m2+16mk+4k2=0．

解得，m=-2k或m=-，且均满足3+4k2-m2＞0，

当m=-2k时，直线l的方程为y=k（x-2），直线过定点（2，0）（舍去）；

当m=-时，直线l的方程为y=k（x-），直线过定点（，0）．

所以，直线过定点（，0）．