平面的概念、画法及表示
共36题

· 平面的概念、画法及表示

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题型：简答题

简答题 · 16 分

如图，在正四棱锥P－ABCD中，PA＝AB＝，点M，N分别在线段PA和BD上，BN＝BD。

（1）若PM＝PA，求证：MN⊥AD；

（2）若二面角M－BD－A的大小为，求线段MN的长度。

正确答案

见解析。

解析

连接AC，BD交于点O，以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴建立空间直角坐标系。

因为，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1)。

（1）由，得，

（2）因为M在PA上，可设，得M(λ，0，1－λ)。

所以

设平面MBD的法向量n＝(x，y，z)，

由得

其中一组解为x＝λ－1，y＝0，z＝λ，所以可取n＝(λ－1，0，λ)，

因为平面ABD的法向量为，

所以cos＝，即，解得，

从而

，

所以

知识点

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题型：单选题

单选题 · 5 分

在中，，是的内心，若,其中，动点的轨迹所覆盖的面积为（）

正确答案

解析

根据向量加法的平行四边形法则得动点的轨迹是以为邻边的平行四边形，其面积为的面积的2倍.在中，由余弦定理可得，代入数据解得，设的内切圆的半径为，则，解得，所以，故动点的轨迹所覆盖的面积为.故选.

知识点

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题型：简答题

简答题 · 14 分

如图，在正四棱锥中，点为棱的中点，点为棱上的点.

（1）若，求证：平面；

（2）试写出（1）的逆命题，并判断其真假.

若为真，请证明；若为假，请举反例.

正确答案

见解析。

解析

（1）

延长，交于点，连结，

因为点为线段上的点，

且，

所以点为线段的中点，

又点为线段的中点，

所以，

又平面，

平面，

所以平面.

（2）（1）的逆命题为：若平面，

则（真命题），

下证之：因为平面，平面，

平面平面，

所以，

在中，点为线段的中点，点为线段上的点，

所以，点为线段的中点.

知识点

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题型：填空题

填空题 · 5 分

底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为 ▲ m2。

正确答案

解析

如图所示，正三棱锥，为顶点在底面内的射影，则为正的垂心，过作于，连接。

则，且，在中，。

于是，，。

所以。

知识点

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题型：简答题

简答题 · 13 分

某单位设计了一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD再用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A和∠C互补，且AB=BC。

（1）设AB=x米，cosA=f(x)，求的解析式，并指出x的取值范围；

（2）求四边形ABCD面积的最大值。

正确答案

见解析

解析

（1）在△ABD中，由余弦定理得

BD2＝AB2+AD2－2AB·AD·cosA，

同理，在△CBD中，BD2＝CB2+CD2－2CB·CD·cosC， ………………… 2分

因为∠A和∠C互补，

所以AB2+AD2－2AB·AD·cosA＝CB2+CD2－2CB·CD·cosC

＝CB2+CD2＋2CB·CD·cosA， ………… 3分

即 x2+(9－x)2－2 x(9－x) cosA＝x2+(5－x)2＋2 x(5－x) cosA，

解得 cosA＝，即f( x)＝，其中x∈(2，5)，　　 ……………………… 5分

（2）四边形ABCD的面积

S＝(AB·AD+ CB·CD)sinA＝[x(5－x)+x(9－x)]，

＝x(7－x)………… 8分

所以g(x)＝(x2－4)( x2－14x＋49)，x∈(2，5)。

由g′(x)＝2x( x2－14x＋49)＋(x2－4)( 2 x－14)＝2(x－7)(2 x2－7 x－4)＝0，

解得x＝4(x＝7和x＝－舍)， ……………………… 10分

所以函数g(x)在区间(2，4)内单调递增，在区间(4，5)内单调递减。

因此g(x)的最大值为g(4)＝12×9＝108.……………………… 12分

四边形ABCD的面积最大值为6

答：四边形ABCD的面积最大值为6. ……………………… 13分

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