热门试卷

解：（1），----------------------------------------------------------------1分

令得，则在上单调递增；

令得，则在上单调递减。---------------------3分

.令，---------4分

则，

令，

则，故在上单调递增。-------------------------6分

而，，故存在，使得，

即。---------------------------------------------------------------------------8分

则时，，故；时，，故。

则在上单调递减，在上单调递增，------------------------------------10分

故

。

故。--------------------------------------------------------------12分

（Ⅰ）若处的切线斜率为，

，

得．

(Ⅱ)由

当时，令 解得：

当变化时，随变化情况如下表：

由表可知：在上是单调减函数，在上是单调增函数

所以，当时，的单调减区间为，单调增区间为

（Ⅲ）当时，要证，即证

令，只需证

由指数函数及幂函数的性质知：在上是增函数

又  ∴

在内存在唯一的零点，也即在上有唯一零点

设的零点为,则即

由的单调性知：

当时，，为减函数

当时，，为增函数，

所以当时，

又，等号不成立∴

解：

根据函数的图象可得, 在上单调递减, 在上单调递增. ---6分

解：

(1).当时,令,可得,

(因为所以舍去)  

所以,

在上是减函数,所以.      

(2).当时,令,则可得是方程的两个根,

所以,  

综合(1)(2)得, .         

试题分析：本题属于导数应用中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）利用导函数求出切线方程；（2）对分类讨论得出的单调区间；（3）第三问利用第二问的结论对“和”两种情况分别研究即可得出结论。

(Ⅰ)若，函数的定义域为，.

则曲线在点处切线的斜率为.

而，则曲线在点处切线的方程为.

……………3分

试题分析：本题属于导数应用中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）利用导函数求出切线方程；（2）对分类讨论得出的单调区间；（3）第三问利用第二问的结论对“和”两种情况分别研究即可得出结论。

（Ⅱ）函数的定义域为，.

（1）当时，由,且此时，可得.

令，解得或，函数为减函数；

令，解得，但，

所以当，时，函数也为增函数.

所以函数的单调减区间为，，

单调增区间为，.

（2）当时，函数的单调减区间为，.

当时，函数的单调减区间为，.

当时，由，所以函数的单调减区间为，.

即当时，函数的单调减区间为，.

（3）当时，此时.

令，解得或，但，所以当，，时，函数为减函数；

令，解得，函数为增函数.

所以函数的单调减区间为，，，

函数的单调增区间为.              …………9分

试题分析：本题属于导数应用中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）利用导函数求出切线方程；（2）对分类讨论得出的单调区间；（3）第三问利用第二问的结论对“和”两种情况分别研究即可得出结论。

（Ⅲ）（1）当时，由（Ⅱ）问可知，函数在上为减函数，

所以不存在极值点;

（2）当时，由（Ⅱ）可知，在上为增函数，

在上为减函数.

若函数在区间上存在极值点，则，

解得或,

所以.

综上所述，当时，函数在区间上存在极值点.

…………13分

（1）∵f（x）=x3+ax2+b，

∴f′（x）=3x2+2ax，

令f′（x）=0，可得x=0或﹣．

a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；

a＞0时，x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，

∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；

a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，

∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；

（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，

∵b=c﹣a，

∴a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．

设g（a）=﹣a+c，

∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），

∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，

∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0，

∴c=1，

此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]，

∵函数有三个零点，

∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，

∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，

解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），

综上c=1．

(Ⅰ)当时,

1分

又2分

函数的图象在点(1，)处的切线方程为:,

即3分

(Ⅱ)的定义域为

4分

当时，在上恒成立，在定义域内单调递增；5分

当时，令解得，

则时，，单调递增；

时，，单调递减；6分

综上，时，的单调递增区间为；

时，的单调递增区间为，

的单调递增区间为                  …….7分

（Ⅲ）证明：

，

又，

要证：，只需证

即证：，设

令则

令

对称轴.

，故在内单调递减，则故.

…….12分