- 圆锥曲线的定点、定值问题
- 共61题
20. 如图,是抛物线为上的一点,弦SC,SD分别交x轴于A,B两点,且SA=SB。
(1)求证:直线CD的斜率为定值;
(2)延长DC交x轴于点E,若,求的值。
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
21.如图,已知抛物线的焦点为,过点且斜率为的直线交抛物线于,两点,直线分别与抛物线交于点
(1)证明的值与无关,并用表示;
(2)记直线的斜率为,证明为定值
正确答案
证明:(1)依题意,设直线的方程为.
将其代入,消去,
整理得 .
从而.
于是
∴与无关,
又
(2)证明:设,
则 .
设直线的方程为,
将其代入,消去,
整理得
∴.
同理可得 .
故.
由(1)知,,
∴为定值.
解析
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知识点
19.已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上,的中心和的顶点均为原点,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:
(1)求的标准方程;
(2)过曲线的焦点的直线与曲线交于两点,与轴交于点,
若,,求证:为定值。
正确答案
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知识点
21.已知椭圆的左右焦点分别为、,短轴两个端点为、,且四边形是边长为2的正方形.
(I)求椭圆方程;
(Ⅱ)若分别是椭圆长轴的左右端点,动点满足,连接,交椭圆于点,证明:为定值;
(III)在(Ⅱ)的条件下,试问轴上是否存在异于点的定点,使得以为直径的圆恒过直线的交点?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
正确答案
(I),,椭圆方程为,
(Ⅱ),设,则,
直线:,即,
代入椭圆得,
,,,
(定值),
(III)设存在满足条件,则,
,
解析
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知识点
20.已知椭圆C:的离心率为,以原点O为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程
(Ⅱ)若直线L:与椭圆C相交于A.B两点,且
求证:的面积为定值
正确答案
解析
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知识点
20.已知点在椭圆上,过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于两点。
(1)求椭圆的方程;
(2)若是椭圆经过原点的弦,且,,试判断是否为定值?若为定值,请求出这个定值;若不是定值,请说明理由。
正确答案
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知识点
20.已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切,过点P(4,0)且不垂直于x轴直线与椭圆C相交于A、B两点。
(1)求椭圆C的方程;
(2)求的取值范围;
(3)若B点在于x轴的对称点是E,证明:直线AE与x轴相交于定点。
正确答案
(1)解:由题意知,
∴,即
又,
∴
故椭圆的方程为
(2)解:由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为
由得:
由
得:
设A(x1,y1),B (x2,y2),则 ①
∴
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知识点
21.已知椭圆C的离心率,长轴的左右端点分别为A1(-2,0),A2(2,0).
(I)求椭圆C的方程;
(II)设直线x=my+1与椭圆C交于P,Q两点,直线A1P与A2Q交于点S,试问:当m变化时,点S是否恒在一条定直线上?若是,请写出这条直线方程,并证明你的结论;若不是,请说明理由.
正确答案
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知识点
20.已知椭圆C:()的离心率,左右焦点分别为、,抛物线的焦点F恰好是该椭圆的一个焦点。
(1)求椭圆方程;
(2)过椭圆的左顶点A作两条弦、分别交椭圆于、两点,满足,当点在椭圆上运动时,直线是否经过轴上的一定点,若过定点,请给出证明,并求出定点坐标;若不过定点,请说明理由。
正确答案
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知识点
22.已知抛物线,过点的直线与抛物线交于、两点,且直线与轴交于点.
(1)求证:,,成等比数列;
(2)设,,试问是否为定值,若是,求出此定值;若不是,请说明理由.
正确答案
解:(1)设直线的方程为:,
联立方程可得得: ①
设,,,则, ②
,
而,∴,
即,、成等比数列
(2)由,得,
,
即得:,,则
由(1)中②代入得,故为定值且定值为
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知识点
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