- 圆锥曲线中的探索性问题
- 共76题
如图,椭圆C:(a>b>0)经过点P
,离心率e=
,直线l的方程为x=4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问:是否存在常数λ,使得k1+k2=λk3?若存在,求λ的值;若不存在,说明理由。
已知椭圆的中心在原点
,焦点在
轴上,离心率为
,右焦点到到右顶点的距离为
。
(1)求椭圆的标准方程;
(2)是否存在与椭圆交于
,
两点的直线
:
,使得
成立?若存在,求出实数
的取值范围,若不存在,请说明理由。
如图,已知椭圆的离心率为
,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点
为顶点的三角形的周长为
.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设
为该双曲线上异于顶点的任一点,直线
和
与椭圆的交点分别为
和
.
(1)求椭圆和双曲线的标准方程;
(2)设直线、
的斜率分别为
、
,证明
;
(3)是否存在常数,使得
恒成立?若存在,求
的值;若不存在,请说明理由。
已知中心在原点,左焦点为
的椭圆
的左顶点为
,上顶点为
,
到直线
的距离为
.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 过点作直线
,使其交椭圆
于
、
两点,交直线
于
点. 问:是否存在这样的直线
,使
是
、
的等比中项?若存在,求出直线
的方程;若不存在,说明理由。
(3) 若椭圆方程为:
(
),椭圆
方程为:
(
,且
),则称椭圆
是椭圆
的
倍相似椭圆.已知
是椭圆
的
倍相似椭圆,若直线
与两椭圆
、
交于四点(依次为
、
、
、
),且
,试研究动点
的轨迹方程。
如图7,直线,抛物线
,已知点
在抛
物线上,且抛物线
上的点到直线
的距离的最小值为
。
(1)求直线及抛物线
的方程;
(2)过点的任一直线(不经过点
)与抛物线
交于
、
两点,直线
与直线
相交于点
,记直线
,
,
的斜率分别为
,
,
,问:是否存在实数
,使得
?若存在,试求出
的值;若不存在,请说明理由。
已知点是平面直角坐标系上的一个动点,点
到直线
的距离等于点
到点
的距离的2倍,记动点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)斜率为的直线
与曲线
交于
两个不同点,若直线
不过点
,设直线
的斜率分别为
,求
的数值;
(3)试问:是否存在一个定圆,与以动点
为圆心,以
为半径的圆相内切?若存在,求出这个定圆的方程;若不存在,说明理由。
已知抛物线的方程为,直线
的方程为
,点A
关于直线
的对称点在抛物线上。
(1)求抛物线的方程;
(2)已知,点
是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,求
的最小值及此时点M的坐标;
(3)设点B、C是抛物线上的动点,点D是抛物线与轴正半轴交点,△BCD是以D为直角顶点的直角三角形,试探究直线BC是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由,
在平面直角坐标系中,已知椭圆
:
的离心率
,且椭圆
上的点到点
的距离的最大值为
。
(1)求椭圆的方程
(2) 在椭圆上,是否存在点
,使得直线
与圆
相交于不同的两点
,且
的面积最大?若存在,求出点
的坐标及对应的
的面积;若不存在,请说明理由。
已知椭圆的长轴长是焦距的两倍,其左、右焦点依次为
、
,抛物线
的准线与
轴交于
,椭圆
与抛物线
的一个交点为
.
(1)当时, ①求椭圆
的方程;②直线
过焦点
,与抛物线
交于
两点,若弦长
等于
的周长,求直线
的方程;
(2)是否存在实数,使得
的边长为连续的自然数.
设椭圆的离心率为
,其左焦点
与抛物线
的焦点相同.(Ⅰ)求此椭圆的方程;(Ⅱ)若过此椭圆的右焦点
的直线
与曲线
只有一个交点
,则
(1)求直线的方程;
(2)椭圆上是否存在点,使得
,若存在,请说明一共有几个点;若不存在,请说明理由。
扫码查看完整答案与解析