- 圆锥曲线的定点、定值问题
- 共61题
已知椭圆:()过点,其左、右焦点分别为,且
。
(1)求椭圆的方程;
(2)若是直线上的两个动点,且,则以为直径的圆是否过定点?请说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)设点的坐标分别为,
则
故,可得, …………………2分
所以,…………………4分
故,
所以椭圆的方程为, ……………………………6分
(2)设的坐标分别为,则,
又,可得,即, …………………8分
又圆的圆心为半径为,
故圆的方程为,
即,
也就是, ……………………11分
令,可得或2,
故圆必过定点和, ……………………13分
(另法:(1)中也可以直接将点坐标代入椭圆方程来进行求解;(2)中可利用圆C直径的两端点直接写出圆的方程)
知识点
已知椭圆的左右焦点分别是,直线与椭圆交于两点且当时,M是椭圆的上顶点,且△的周长为6.
(1)求椭圆 的方程;
(2)设椭圆的左顶点为A,直线与直线:分别相交于点,问当变化时,以线段为直径的圆被轴截得的弦长是否为定值?若是,求出这个定值,若不是,说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)当时,直线的倾斜角为,
所以:…………3分
解得:,……5分
所以椭圆方程是:;……6分
(2)当时,直线的方程为:,此时,M,N点的坐标分别是,又点坐标是(-2,0),由图可以得到P,Q两点坐标分别是(4,3),(4,-3),以PQ为直径的圆过右焦点,被轴截得的弦长为6,猜测当 变化时,以PQ为直径的圆恒过焦点,被轴截得的弦长为定值6,……………………8分
证明如下:设点M,N点的坐标分别是,则直线的方程是:,
所以点的坐标是,同理,点的坐标是,…………………9分
由方程组得到:,
所以:,…………………11分
从而:
所以:以为直径的圆一定过右焦点,被轴截得的弦长为定值6。……………13分
知识点
已知椭圆的左右焦点分别是,直线与椭圆交于两点且当时,M是椭圆的上顶点,且△的周长为6.
(1)求椭圆 的方程;
(2)设椭圆的左顶点为A,直线与直线:分别相交于点,问当变化时,以线段为直径的圆被轴截得的弦长是否为定值?若是,求出这个定值,若不是,说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)当时,直线的倾斜角为,所以:…………3分
解得:,……5分 所以椭圆方程是:;……6分
(2)当时,直线的方程为:,此时,M,N点的坐标分别是,又点坐标是(-2,0),由图可以得到P,Q两点坐标分别是(4,3),(4,-3),以PQ为直径的圆过右焦点,被轴截得的弦长为6,猜测当 变化时,以PQ为直径的圆恒过焦点,被轴截得的弦长为定值6,……………………8分
证明如下:设点M,N点的坐标分别是,则直线的方程是:,
所以点的坐标是,同理,点的坐标是,…………………9分
由方程组得到:,
所以:,…………………11分
从而:
所以:以为直径的圆一定过右焦点,被轴截得的弦长为定值6。……………13分
知识点
已知直线l:y=x+,圆O:x2+y2=5,椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率e=,直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等。
(1)求椭圆E的方程;
(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线,若切线都存在斜率,求证两切线斜率之积为定值。
正确答案
见解析
解析
(1)解:设椭圆半焦距为c,圆心O到l的距离d==,
∴直线l被圆O截得的弦长为,
由2b=,解得b=,
∵椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率e=,
∴
∴,解得a2=3
∴椭圆E的方程为;
(2)证明:设P(x0,y0),过点P的椭圆E的切线l0的方程为y﹣y0=k(x﹣x0)
与椭圆方程联立,消去y可得(3+2k2)x2+4k(y0﹣kx0)x+2(kx0﹣y0)2﹣6=0
∴△=[4k(y0﹣kx0)]2﹣4(3+2k2)[2(kx0﹣y0)2﹣6]=0
∴()k2+2kx0y0﹣()=0
设满足题意的椭圆的两条切线的斜率分别为k1,k2,
∴k1k2=﹣
∵P在圆O上,∴,
∴k1k2=﹣=﹣1
∴两切线斜率之积为定值﹣1。
知识点
如图,设椭圆:()的左、右焦点分别为,,点是其与轴的一个交点,定点(,),且, 。
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点作直线与椭圆相交于不同的两点,(,与点不重合),设直线的斜率为,直线的斜率为,证明:为定值。
正确答案
见解析
解析
解析:
(1)解:设椭圆的半焦距为(),由(,)及
得,即;由得,即,所以
所以椭圆的标准方程为
(2)证明:若直线与轴垂直,则,的坐标分别为(,),(),
于是
若直线的斜率存在,则设斜率为,
由(,)及,与点不重合知且
设,,直线的方程为
与椭圆的方程联立消去得
得,
于是
综上得为定值2
知识点
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