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题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知椭圆()过点,其左、右焦点分别为,且

(1)求椭圆的方程;

(2)若是直线上的两个动点,且,则以为直径的圆是否过定点?请说明理由。

正确答案

见解析

解析

(1)设点的坐标分别为

,可得,    …………………2分

所以,…………………4分

所以椭圆的方程为,          ……………………………6分

(2)设的坐标分别为,则

,可得,即,  …………………8分

又圆的圆心为半径为

故圆的方程为

也就是,                 ……………………11分

,可得或2,

故圆必过定点,              ……………………13分

(另法:(1)中也可以直接将点坐标代入椭圆方程来进行求解;(2)中可利用圆C直径的两端点直接写出圆的方程)

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与椭圆的位置关系圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知椭圆的左右焦点分别是,直线与椭圆交于两点且当时,M是椭圆的上顶点,且△的周长为6.

(1)求椭圆 的方程;

(2)设椭圆的左顶点为A,直线与直线:分别相交于点,问当变化时,以线段为直径的圆被轴截得的弦长是否为定值?若是,求出这个定值,若不是,说明理由。

正确答案

见解析

解析

(1)当时,直线的倾斜角为

所以:…………3分

解得:,……5分

所以椭圆方程是:;……6分

(2)当时,直线的方程为:,此时,M,N点的坐标分别是,又点坐标是(-2,0),由图可以得到P,Q两点坐标分别是(4,3),(4,-3),以PQ为直径的圆过右焦点,被轴截得的弦长为6,猜测当 变化时,以PQ为直径的圆恒过焦点,被轴截得的弦长为定值6,……………………8分

证明如下:设点M,N点的坐标分别是,则直线的方程是:

所以点的坐标是,同理,点的坐标是,…………………9分

由方程组得到:

所以:,…………………11分

从而:

所以:以为直径的圆一定过右焦点,被轴截得的弦长为定值6。……………13分

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知椭圆的左右焦点分别是,直线与椭圆交于两点且当时,M是椭圆的上顶点,且△的周长为6.

(1)求椭圆 的方程;

(2)设椭圆的左顶点为A,直线与直线:分别相交于点,问当变化时,以线段为直径的圆被轴截得的弦长是否为定值?若是,求出这个定值,若不是,说明理由。

正确答案

见解析

解析

(1)当时,直线的倾斜角为,所以:…………3分

解得:,……5分      所以椭圆方程是:;……6分

(2)当时,直线的方程为:,此时,M,N点的坐标分别是,又点坐标是(-2,0),由图可以得到P,Q两点坐标分别是(4,3),(4,-3),以PQ为直径的圆过右焦点,被轴截得的弦长为6,猜测当 变化时,以PQ为直径的圆恒过焦点,被轴截得的弦长为定值6,……………………8分

证明如下:设点M,N点的坐标分别是,则直线的方程是:

所以点的坐标是,同理,点的坐标是,…………………9分

由方程组得到:

所以:,…………………11分

从而:

所以:以为直径的圆一定过右焦点,被轴截得的弦长为定值6。……………13分

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与椭圆的位置关系圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知直线l:y=x+,圆O:x2+y2=5,椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率e=,直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等。

(1)求椭圆E的方程;

(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线,若切线都存在斜率,求证两切线斜率之积为定值。

正确答案

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解析

(1)解:设椭圆半焦距为c,圆心O到l的距离d==

∴直线l被圆O截得的弦长为

由2b=,解得b=

∵椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率e=

,解得a2=3

∴椭圆E的方程为

(2)证明:设P(x0,y0),过点P的椭圆E的切线l0的方程为y﹣y0=k(x﹣x0

与椭圆方程联立,消去y可得(3+2k2)x2+4k(y0﹣kx0)x+2(kx0﹣y02﹣6=0

∴△=[4k(y0﹣kx0)]2﹣4(3+2k2)[2(kx0﹣y02﹣6]=0

∴()k2+2kx0y0﹣()=0

设满足题意的椭圆的两条切线的斜率分别为k1,k2

∴k1k2=﹣

∵P在圆O上,∴

∴k1k2=﹣=﹣1

∴两切线斜率之积为定值﹣1。

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,设椭圆)的左、右焦点分别为,点是其与轴的一个交点,定点),且

(1)求椭圆的标准方程;

(2)过点作直线与椭圆相交于不同的两点与点不重合),设直线的斜率为,直线的斜率为,证明:为定值。

正确答案

见解析

解析

解析:

(1)解:设椭圆的半焦距为),由)及

,即;由,即,所以

所以椭圆的标准方程为

(2)证明:若直线轴垂直,则的坐标分别为(),(),

于是

  若直线的斜率存在,则设斜率为

)及与点不重合知  

,直线的方程为

与椭圆的方程联立消去

   

  于是

综上得为定值2   

知识点

向量在几何中的应用椭圆的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
下一知识点 : 圆锥曲线中的探索性问题
百度题库 > 高考 > 理科数学 > 圆锥曲线的定点、定值问题

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