热门试卷

X 查看更多试卷
1
题型:简答题
|
简答题 · 13 分

如图,椭圆C:(a>b>0)经过点P,离心率e=,直线l的方程为x=4.

(1)求椭圆C的方程;

(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问:是否存在常数λ,使得k1+k2=λk3?若存在,求λ的值;若不存在,说明理由。

正确答案

(1) ; (2) 存在

解析

(1)由P在椭圆上得,,①

依题设知a=2c,则b2=3c2,②

②代入①解得c2=1,a2=4,b2=3.

故椭圆C的方程为.

(2)方法一:由题意可设AB的斜率为k,

则直线AB的方程为y=k(x-1),③

代入椭圆方程3x2+4y2=12并整理,得(4k2+3)x2-8k2x+4(k2-3)=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则有

x1+x2,x1x2,④

在方程③中令x=4得,M的坐标为(4,3k)。

从而.

注意到A,F,B共线,则有k=kAF=kBF,即有.

所以k1+k2

.⑤

④代入⑤得k1+k2=2k-1,

又k3,所以k1+k2=2k3.

故存在常数λ=2符合题意。

(2)方法二:设B(x0,y0)(x0≠1),则直线FB的方程为:

令x=4,求得M

从而直线PM的斜率为.

联立

得A

则直线PA的斜率为:,直线PB的斜率为:

所以k1+k2=2k3

故存在常数λ=2符合题意

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
1
题型:简答题
|
简答题 · 12 分

如图,已知椭圆的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设为该双曲线上异于顶点的任一点,直线与椭圆的交点分别为.

(1)求椭圆和双曲线的标准方程;

(2)设直线的斜率分别为,证明

(3)是否存在常数,使得恒成立?若存在,求的值;若不存在,请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

(1)设椭圆的半焦距为,由题意知, ,又

所以 

,因此

故椭圆的标准方程为

由题意设等轴双曲线的方程因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点,所以

因此  双曲线的标准方程为

(2)设

则 

因为  点在双曲线上,所以

因此 

即 

(3)由于的方程为,将其带入椭圆方程得

由根与系数的关系得

所以 

同理可得

则 

又 

所以 

因此  存在,使恒成立。

知识点

椭圆的定义及标准方程双曲线的定义及标准方程圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
1
题型:简答题
|
简答题 · 16 分

已知中心在原点,左焦点为的椭圆的左顶点为,上顶点为到直线的距离为.

(1) 求椭圆的方程;

(2) 过点作直线,使其交椭圆两点,交直线点. 问:是否存在这样的直线,使的等比中项?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由。

(3) 若椭圆方程为:),椭圆方程为:,且),则称椭圆是椭圆倍相似椭圆.已知是椭圆倍相似椭圆,若直线与两椭圆交于四点(依次为),且,试研究动点的轨迹方程。

正确答案

(1)(2)存在(3)

解析

(1)设椭圆方程为:),

所以直线方程为:

到直线距离为

,解得:

故:椭圆方程为:.

(2) 当直线轴重合时,,而,所以

若存在直线,使的等比中项,

则可设直线方程为:

代人椭圆的方程,得:即:

   ∴

,即,∴

,解得:,符合,所以

故存在直线,使的等比中项,其方程为

,即:

(3) 椭圆倍相似椭圆的方程为:

各点坐标依次为

代人椭圆方程,得:

     (*)

此时:

代人椭圆方程,得:

,可得线段中点相同,所以

,所以,可得:

(满足(*)式)。

故:动点的轨迹方程为.

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
1
题型:简答题
|
简答题 · 14 分

在平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率,且椭圆上的点到点的距离的最大值为

(1)求椭圆的方程

(2) 在椭圆上,是否存在点,使得直线与圆相交于不同的两点,且的面积最大?若存在,求出点的坐标及对应的的面积;若不存在,请说明理由。

正确答案

(1)   的方程为.

(2) 存在,面积最大为,点的坐标为.

解析

(1)依题意,所以,

是椭圆上任意一点,则,所以,

所以

时,有最大值,可得,所以

故椭圆的方程为.

(2)[韦达定理法]因为在椭圆上,所以,,设,

,得

所以,可得

由韦达定理得,

所以

所以

设原点到直线的距离为,则

所以

,由,得,所以,

,

所以,当时,面积最大,且最大为,

此时,点的坐标为.

[垂径定理切入]因为点在椭圆上运动,所以,,

圆心到直线的距离,

直线被圆所截的弦长为

所以,接下来做法同上。

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质直线与椭圆的位置关系圆锥曲线中的探索性问题
1
题型:简答题
|
简答题 · 16 分

已知椭圆的长轴长是焦距的两倍,其左、右焦点依次为,抛物线的准线与轴交于,椭圆与抛物线的一个交点为.

(1)当时, ①求椭圆的方程;②直线过焦点,与抛物线交于两点,若弦长等于的周长,求直线的方程;

(2)是否存在实数,使得的边长为连续的自然数.

正确答案

(1)(2)

解析

(1)①设椭圆的实半轴长为a,短半轴长为b,半焦距为c,

=1时,由题意得,a=2c=2,,

所以椭圆的方程为.

②依题意知直线的斜率存在,设,由得,

,由直线与抛物线有两个交点,可知.

,由韦达定理得

=            

因为的周长为,所以,          

解得,从而可得直线的方程为        

(2)假设存在满足条件的实数,由题意得,又设,设,对于抛物线M,有对于椭圆C,由   

解得:,所以,从而,因此,的边长分别为

时,使得的边长为连续的自然数.     

知识点

直线的一般式方程椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
下一知识点 : 直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
百度题库 > 高考 > 理科数学 > 圆锥曲线中的探索性问题

扫码查看完整答案与解析

  • 上一题
  • 1/5
  • 下一题