圆锥曲线的定点、定值问题
共61题

· 圆锥曲线的定点、定值问题

圆锥曲线的定点、定值问题
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题型：简答题

简答题 · 12 分

正确答案

略

知识点

椭圆的几何性质圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

正确答案

ＬＵＥ

知识点

圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题

题型：简答题

简答题 · 16 分

18. 平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆上一动点的直线，过F2与x轴垂直的直线记为，右准线记为；

①设直线与直线相交于点M，直线与直线相交于点N，证明恒为定值，并求此定值。

②若连接并延长与直线相交于点Q，椭圆的右顶点A，设直线PA的斜率为，直线QA的斜率为，求的取值范围．

正确答案

见解析

解析

（1）由题意知，则 ,又可得 ,

所以椭圆C的标准方程为.

（2）①M N

②点（），点Q，

∵，，

∴==．

∵点P在椭圆C上， ∴，

∴==．

∵，

∴．

∴的取值范围是．

考查方向

本题考查了椭圆方程的求法，离心率，圆方程等知识的运用，定值的求法，斜率的表示方法等。

解题思路

本题考查导数的性质，解题步骤如下：

（1）根据离心率和几何特点，求出椭圆方程

（2）表示M，N进而得

（3）表示,进而得的取值范围．

易错点

点M，N表示不当

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线的定点、定值问题

题型：单选题

单选题 · 4 分

16. 如图，两个椭圆、内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线

上的任意一点，给出下列三个判断：

（1）到、、、

四点的距离之和为定值

（2）曲线关于直线、均对称

（3）曲线所围区域面积必小于36

上述判断中正确命题的个数为（）

A0个

B1个

C2个

D3个

正确答案

解析

对于（1）若点P在椭圆上，P到、两点的距离之和为定值、到、两点的距离之和不为定值，故错；对于（2）、关于直线、均对称，关于直线、均对称，故正确；对于（3）曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确。

考查方向

椭圆性质的应用。

解题思路

①若点P在椭圆上，P到、两点的距离之和为定值、到、两点的距离之和不为定值②两个椭圆关于直线、均对称，关于直线、均对称③曲线C所围区域在边长为6的正方形内部。

易错点

分析不全面、不透彻

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质圆锥曲线的定点、定值问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

20.（本题满分12分）

已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为.

（Ⅰ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；

（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由.

正确答案

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，或.

试题分析：（Ⅰ）题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解：设端点的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦的中点和直线的斜率；设直线的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦的中点，并寻找两条直线斜率关系；

（Ⅱ）根据（Ⅰ）中结论，设直线方程并与椭圆方程联立，求得坐标，利用以及直线过点列方程求的值.

试题（Ⅰ）设直线，，，.

将代入得，故，

.于是直线的斜率，即.所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值.

（Ⅱ）四边形能为平行四边形.

因为直线过点，所以不过原点且与有两个交点的充要条件是，.

由（Ⅰ）得的方程为.设点的横坐标为.由得，即.将点的坐标代入直线的方程得，因此.四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即.于是

.解得，.因为，，，所以当的斜率为

或时，四边形为平行四边形.

解析

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知识点

椭圆的几何性质圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题

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