热门试卷

解析：

（1）由题意得：面，

∴,               ------2分

又，

∴面，                                 ------3分

∵面，  ∴平面平面；        ------5分

（2）解法1：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则

因为P为棱的中点，故易求得。             ------6分

设平面的法向量为

则得

令，则              ------8分

而平面的法向量         ------9分

则        ------11分

由图可知二面角为锐角，

故二面角的平面角的余弦值是 .    ------12分

解法2：过P做PP1//A1B1交A1C1的中点于P1,

由（1）可知P1A1,连接P1B,则为二面角的平面角，                ------8分

在中，，，

故二面角的平面角的余弦值是     ------12分

（1）因为侧面,侧面，故,

在中, 由余弦定理得：

，

所以，  ……3 分

故,所以,而平面.……5分

（2）由（1）可知，两两垂直.以为原点，所在直线为

 轴建立空间直角坐标系.  则，,. ……7分

所以,所以,

则.设平面的法向量为，

则由,得,即，

令，则是平面的一个法向量.……10分

侧面,是平面的一个法向量，

.

两边平方并化简得，

所以=1或（舍去）.…………12分

【方法一】（1）证明：由题意知 则

   （4分）

（2）∵∥，又平面.

∴平面平面.

过作//交于

过点作交于,则

∠为直线与平面所成的角。

在Rt△中，∠，，

∴，∴∠.

即直线与平面所成角为.  （8分）

（3）连结，∵∥，∴∥平面.

又∵∥平面，

∴平面∥平面，∴∥.

又∵

∴∴，即 （12分）

【方法二】如图，在平面ABCD内过D作直线DF//AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.

（1）设，则，

∵，∴.　（4分）

（2）由（1）知.

由条件知A（1，0，0），B（1，，0），

.

设，

则

 即直线为.  （8分）

（3）由（2）知C（－3，，0），记P（0，0，a），则

，，，，

而，所以，

=

设为平面PAB的法向量，则，即，即.

  进而得，

由,得∴

（12分）

（1）当时，平面

证明：连交于，连。

由可得，，，所以。

若，即， 

由平面，故平面，   4分

（2）由PA=PD=AD=2， Q为AD的中点，则PQ⊥AD

又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，连BD，

∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB， 由 ∠BAD=60°得△ABD为正三角形，

又∵Q为AD中点， ∴AD⊥BQ                                             8分

以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为

轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为

A（1，0，0），B（），Q（0，0，0），P（0，0，）

设平面MQB的法向量为，

可得，令z=1，解得

取平面ABCD的法向量，设所求二面角为，

则    故二面角的大小为60°，                12分

由题意知M（2,0），N（0，），因为P是线段MN中点，则P（1，），

因此PO直角坐标方程为：

本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想。

证明：（1）分别是的中点.

是的中位线，  ……………2分

由已知可知……………3分

……………4分

  ……………5分

………………6分

（2）以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

由题设，得，………………7分

………………8分

设平面的法向量为

可得，……………10分

又平面的法向量为

设二面角的大小为，则。

为锐角，二面角的余弦值为.………………13分

（1）∵平面垂直于圆所在的平面，两平面的交线为，平面，，∴垂直于圆所在的平面.又在圆所在的平面内，∴.∵是直角，∴，∴平面,∴.

（2）

如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，过点与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系.由异面直线和所成的角为，知，

∴，

∴，由题设可知，，∴，.设平面的一个法向量为，

由，得，，取，得.

∴.又平面的一个法向量为，∴.

平面与平面所成的锐二面角的余弦值.         

解析：解法一：

（1）设，连接,

分别是、的中点，则，                                           ……1分

已知平面，平面，所以平面平面，

又，为的中点，则，

而平面，所以平面，

所以平面，

又平面，所以；                                                    ……3分

在中，，；

又，所以平面，

又平面，所以.                                                         ……6分

（2）在平面内过点作交的延长线于，连接，，

因为平面，

所以平面，

平面平面，

所以平面，

平面，所以；

在中，，是中点，

故；

所以平面，则。

所以是二面角的平面角。

……10分

设，

而，

，则，

所以二面角的余弦值为，                                                    ……12分

解法二：

（1）因为平面，平面，所以平面平面，

又，是的中点，则，且平面，

所以平面，                                                                              ……2分

如图，以O为原点，以分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系。

                  ……4分

，，所以，……6分

（2），，

设平面的法向量为，

则

令，得，       ……8分

又，，

所以平面的法向量，                                                  ……10分

，

所以二面角的余弦值为，                                                    ……12分

解析：解法1:（1）延长B1E交BC于点F,

∽△FEB,BE=EC1,∴BF=B1C1=BC,

从而点F为BC的中点.

∵G为△ABC的重心,∴A、G、F三点共线.且,

又GE侧面AA1B1B,∴GE//侧面AA1B1B.                                  …………5分

（2）∵侧面AA1B1B⊥底面ABC,侧棱AA1与底面ABC成60°的角,∴∠A1AB=60°,

又AA1=AB=2,取AB的中点O,则AO⊥底面ABC.

以O为原点建立空间直角坐标系O—如图,

则,,,,,.

∵G为△ABC的重心,∴.,∴,

∴.      又GE侧面AA1B1B,∴GE//侧面AA1B1B.  …………6分

（2）设平面B1GE的法向量为,则由得

可取 又底面ABC的一个法向量为

设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为,则.

故平面B1GE与底面ABC成锐二面角的余弦值为.                 …………12分