热门试卷

（1）证明：∵，，，

∴

∵平面，∴，又∵

∴平面，又∵

∴平面，∴  

又∵，又∵

∴平面   

又∵平面

∴平面⊥平面  

（2）方法一：∵平面，平面，

∴平面⊥平面，又∵二面角的大小为.

∴二面角的大小等于.

又∵平面，∴，，

∴为二面角的平面角，即. 

∵，，∴.，∵∽，

，即，

∴，∴，

方法二：如图，以为原点，，，所在射线为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系

∴

A－xyz，设，，，， ，.

∵，，∴平面，

∴平面的一个法向量为. 

∵，∴.设，∴，

∴.

设平面的一个法向量为，∵，，

∴，得.   

∵二面角的大小为，

∴，解得.

∴，，∴.    

（1）连接，交于，因为四边形为菱形，，所以

因为、都垂直于面,，又面∥面,

所以四边形为平行四边形 ,则………………………………………2分

因为、、都垂直于面,则

…4分

所以

所以为等腰直角三角形          ………………………………………………………5分

（2）取的中点，因为分别为的中点，所以∥

以分别为轴建立坐标系，

则

所以 ……………………7分

设面的法向量为，

则，即且

令，则 ……………………………………………………………………9分

设面的法向量为，

则即且

令，则  …………………………………………………………11分

则,则二面角的余弦值为 …………12分

（1）连延长交于，

因为点为的重心，所以

又，所以，所以//；

因为//，//，所以平面//平面，

又与分别是棱长为1与2的正三角形，

为中点，为中点, //,又//，

所以//，得四点共面

//平面

（2）平面平面，易得平面平面，

以为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，

则，设，

，

，

因为与所成角为，所以，

得，，，

设平面的法向量，则，取，

面的法向量，

所以二面角的余弦值。

（1）M为PC的中点，设PD中点为N，

则MN=CD，且MN//CD，∴MN=AB，MN//AB

∴ABMN为平行四边形，∴BM//AN，

又PA＝AD，∠PAD＝90○

∴AN⊥PD，

又CD⊥AN，

∴AN⊥面PCD，

∴BM⊥面PCD

（2）延长CB交DA于E，

∵AB＝CD，

AB//CD

∴AE＝AD＝PA，∴PD⊥PE

又∴PE⊥CD，∴PE⊥面PCD，

∴∠CPD为二面角C-PE-D的平面角；PD＝AD，CD＝2AD；

∴tan∠CPD＝

如图建立空间直角坐标系如图，则A（0，0，0），P（0，0，3），D（0，3，0），E（，0，0），F（0，，），C（，3，0）

（1）取PC的中点G，连结EG，则G

（2）设平面PCE的法向量为

（3） 

直线FC与平面PCE所成角的正弦值为.

解析：（1）在中，

，     易得，

面面    面              …4分

（2）在四面体ABCD中，以D为原点，DB为轴，DC为轴，过D垂直于平面BDC的射线为轴，建立如图空间直角坐标系。

则D（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A（2，0，2）

设平面ABC的法向量为，而，

由得：，取 。

再设平面DAC的法向量为，而，

由得：，取，

所以，所以二面角B-AC-D的大小是      …………………8分

（3）由于均为直角三角形，故四面体ABCD的外接球球心在AD中点，

又，所以球半径，得 .     …………………12分

（1） 证明：由题可知，                                                   (3分)

 (6分)

（2） 以为原点，以方向为轴，以方向为轴，以过点平面向上的法线方向为轴，建立坐标系. (7分)

则，，，，

，，，

，， (9分)

， (11分)

综上二面角大小为. (12分)

由三视图可知，四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，且

（1）由锥体体积公式得

（2）连接，交于点，显然为中点，连接，则为三角形中位线，

所以,又在平面外，平面

（3）以为坐标原点，以、、所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，

设面

由同理得

，由图可知，二面角的余弦值为

另解：作BGPA于G,连接DG,易证∠BGD为所求二面角的平面角，易求cos∠BGD=.

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