热门试卷

１（1）

如图，因为，，所以. 又，，所以.　而，所以.

（2I）因为，所以直线所成角等于直线AD与平面所成角（记为）。

连结，因为棱柱是直棱柱，且，所以，从而，又，所以四边形为正方形，于是，故，于是。

由（I）可知：，所以，故。

在直角梯形ABCD中，因为，所以，从而∽，故，即 从而易得

，即. 连，

在中，. 得。

即直线所成角的正弦值为。

解法2. （I）

易知AB，AD，两两垂直，如图，以点A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。　设AB=t ，则相关各点坐标为

，，，，，，.

从而，，.

因为，所以，解得或（舍去）

于是，，又因为

，所以，即.

（2）由（I）知，，

.　设是平面的一个法向量，则

，即令x=1，得

。

设直线所成角为，则

=.

即直线所成角的正弦值为。

（1）由AC=BC，D为AB的中点，得CD⊥AB，又CD⊥AA1。

故CD⊥平面A1ABB1。

所以点C到平面A1ABB1的距离为CD==

（2）解法一：如图1，取D1为A1B1的中点，连接DD1，则DD1∥AA1∥CC1。

又由（1）知CD⊥平面A1ABB1，故CD⊥A1D，CD⊥D1D，所以∠A1DD1为所求的二面角A1﹣CD﹣C1的平面角，因A1D为A1C在面A1ABB1中的射影，又已知AB1⊥A1C由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D，从而∠A1AB1、∠A1DA都与∠B1AB互余，因此∠A1AB1=∠A1DA，所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A，因此AA1：AD=A1B1：AA1，即AA12=AD•A1B1=8，得AA1=2，从而A1D==2，所以Rt△A1D1D中，cos∠A1DD1===

解法二：如图2，过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，有DB，DC，DD1两两垂直，以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为X轴、Y轴、Z轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz。

设直三棱柱的高为h，则A（﹣2，0，0），A1（﹣2，0，h），B1（2，0，h），C（0，，0），C1（0，，h），从而=（4，0，h），=（2，，﹣h）

由AB1⊥A1C，可得8﹣h2=0，h=2，故=（﹣2，0，2），=（0，0，2），=（0，，0）

设平面A1CD的法向量为=（x1，y1，z1），则有⊥，⊥

∴ •=0且•=0，即，取z1=1，则=（，0，1）

设平面C1CD的法向量为=（x2，y2，z2），则⊥，⊥，即且=0，取x2=1，得=（1，0，0），

所以cos＜，＞===，所以二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值

解法1：（1）如图（1），连接AC，由AB=4，，

Ｅ是ＣＤ的中点，所以

所以

而内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.

（2）过点Ｂ作

由（1）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE.于是为直线ＰＢ与平面PAE

所成的角，且.

由知，为直线与平面所成的角.:

由题意，知

因为所以

由所以四边形是平行四边形，故于是

在中，所以

于是

又梯形的面积为所以四棱锥的体积为

解法2：如图（2），以A为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系.设则相关的各点坐标为：

（1）易知因为

所以而是平面内的两条相交直线，所以

（2）由题设和（1）知，分别是，的法向量，而PB与

所成的角和PB与所成的角相等，所以

由（1）知，由故

解得.

又梯形ABCD的面积为，所以四棱锥的体积为

.

（1） 证明 ：在中，因为

所以 

因此 ，故所以

又  所以，

又  ，

所以  ，

所以  。

（2）解法一：

因为  三角形是等腰三角形，

所以  ，

因此  。

又  ，

所以点B到平面的距离等于点A到平面的距离。

由于，在中，，

所以  ，

故  边上的高为2，此即为点A到平面的距离。

所以B到平面平面的距离为。

设直线与平面所成的角为，

则，

又，

所以  。

解法二：

由（1）知两两垂直，分别以为轴轴轴建立空间直角坐标系，由于三角形是等腰三角形，所以  ，

又，

因此  ，

因为  ，

所以  四边形是个直角梯形，

因为  ，

所以  ，

因此  ，

故  ，

所以  。

因此  ，

设是平面的一个法向量，

则  ，

解得  ，

取，得，

又，

设表示向量与平面的法向量所成的角，

则  ，

所以  ，

因此直线PB与平面PCD所成角为。

（3）因为，

所以  四边形四边形是个直角梯形，

因为  ，

所以  ，

因此  ，

故  ，

所以  。

又  ，

所以  四棱锥P—ACDE的体积。

（方法一）

（1）

证明：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A（0,0,0），B（0,0,2），C（1,0,1），B1（0,2,2），C1（1,2,1），E（0,1,0）。

易得＝（1,0，－1），＝（－1,1，－1），于是·＝0，

所以B1C1⊥CE.

（2）＝（1，－2，－1）。

设平面B1CE的法向量m＝（x，y，z），

则即

消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量为m＝（－3，－2,1）。

由（1），B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，

故＝（1,0，－1）为平面CEC1的一个法向量。

于是cos〈m，〉＝，

从而sin〈m，〉＝.

所以二面角B1－CE－C1的正弦值为.

（3）＝（0,1,0），＝（1,1,1）。

设＝λ＝（λ，λ，λ），0≤λ≤1，有＝＋＝（λ，λ＋1，λ）。

可取＝（0,0,2）为平面ADD1A1的一个法向量。

设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则

sin θ＝|cos〈，〉|＝

＝.

于是，解得，

所以AM＝.

（方法二）

（1）

证明：因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1，B1C1平面A1B1C1D1，

所以CC1⊥B1C1.

经计算可得B1E＝，B1C1＝，EC1＝，

从而B1E2＝，

所以在△B1EC1中，B1C1⊥C1E，

又CC1，C1E平面CC1E，CC1∩C1E＝C1，

所以B1C1⊥平面CC1E，

又CE平面CC1E，故B1C1⊥CE.

（2）过B1作B1G⊥CE于点G，连接C1G.

由（1），B1C1⊥CE，故CE⊥平面B1C1G，得CE⊥C1G，

所以∠B1GC1为二面角B1－CE－C1的平面角。

在△CC1E中，由CE＝C1E＝，CC1＝2，可得C1G＝.

在Rt△B1C1G中，B1G＝，

所以sin∠B1GC1＝，

即二面角B1－CE－C1的正弦值为.

（3）连接D1E，过点M作MH⊥ED1于点H，可得MH⊥平面ADD1A1，连接AH，AM，则∠MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角。

设AM＝x，从而在Rt△AHM中，有MH＝，AH＝.

在Rt△C1D1E中，C1D1＝1，ED1＝，得EH＝.

在△AEH中，∠AEH＝135°，AE＝1，

由AH2＝AE2＋EH2－2AE·EHcos 135°，得，

整理得5x2－－6＝0，解得x＝.

所以线段AM的长为.

（1）

证法一：由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立直角坐标系，如图。

∵AB＝AA1＝，

∴OA＝OB＝OA1＝1，

∴A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(－1,0,0)，D(0，－1,0)，A1(0,0,1)。

由＝，易得B1(－1,1,1)。

∵＝(－1,0，－1)，＝(0，－2,0)，

＝(－1,0,1)，

∴·＝0，·＝0，

∴A1C⊥BD，A1C⊥BB1，

∴A1C⊥平面BB1D1D。

证法二：∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD。

又∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C。

又∵OA1是AC的中垂线，∴A1A＝A1C＝，且AC＝2，∴AC2＝AA12＋A1C2，∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C。

又BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1，∴A1C⊥平面BB1D1D。

（2）解：设平面OCB1的法向量n＝(x，y，z)，

∵＝(－1,0,0)，＝(－1,1,1)，

∴∴

取n＝(0,1，－1)，

由(1)知，＝(－1,0，－1)是平面BB1D1D的法向量，

∴cos θ＝|cos〈n，〉|＝.

又∵0≤θ≤，∴

（1）在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2，得BD=BC= ，

由 ，AB=2得 ，即AC⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，

从而AC⊥平面BCDE，

所以AC⊥DE，又DE⊥DC，从而

DE⊥平面ACD；

(2)方法1

作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AB交于点G，连接BG，由（1）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B-AD-E的平面角，在直角梯形BCDE中，由CD2=BC2+BD2，得BD⊥BC，

又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，从而

BD⊥AB，由于AC⊥平面BCDE，得

AC⊥CD。

在Rt△ACD中，由DC=2, ，得 ；

在Rt△AED中，由ED=1，得 ；

在Rt△ABD中，由 ，AB=2，

得 ， ，从而 ，

在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分别可得 ， 。

在△BFG中, ，

所以，∠BFG= ，即二面角B-AD-E的大小为 。

方法2：以D的原点，分别以射线DE，DC为x,y轴的正半轴，建立空间直角坐标系 ，如图所示.

由题意知各点坐标如下： ， ， ， ， 。

设平面ADE的法向量为

平面ABD的法向量为，可算得：

 ， ，

由 即 ，可取

由即可取

于是

由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角B-AD-E的大小为