- 线面角和二面角的求法
- 共279题
请你谈一谈对“不同生产方式以及生产工艺中,生产物流管理所采用的方法和手段是不同的。”这句话的理解。
正确答案
测试
如图5,在直棱柱
(1)证明:;
(2)求直线所成角的正弦值。
正确答案
见解析
解析
1(1)
如图,因为,,所以. 又,,所以. 而,所以.
(2I)因为,所以直线所成角等于直线AD与平面所成角(记为)。
连结,因为棱柱是直棱柱,且,所以,从而,又,所以四边形为正方形,于是,故,于是。
由(I)可知:,所以,故。
在直角梯形ABCD中,因为,所以,从而∽,故,即 从而易得
,即. 连,
在中,. 得。
即直线所成角的正弦值为。
解法2. (I)
易知AB,AD,两两垂直,如图,以点A为坐标原点,AB,AD,所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系。 设AB=t ,则相关各点坐标为
,,,,,,.
从而,,.
因为,所以,解得或(舍去)
于是,,又因为
,所以,即.
(2)由(I)知,,
. 设是平面的一个法向量,则
,即令x=1,得
。
设直线所成角为,则
=.
即直线所成角的正弦值为。
知识点
如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=4,AC=BC=3,D为AB的中点
(1)求点C到平面A1ABB1的距离;
(2)若AB1⊥A1C,求二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值。
正确答案
见解析
解析
(1)由AC=BC,D为AB的中点,得CD⊥AB,又CD⊥AA1。
故CD⊥平面A1ABB1。
所以点C到平面A1ABB1的距离为CD==
(2)解法一:如图1,取D1为A1B1的中点,连接DD1,则DD1∥AA1∥CC1。
又由(1)知CD⊥平面A1ABB1,故CD⊥A1D,CD⊥D1D,所以∠A1DD1为所求的二面角A1﹣CD﹣C1的平面角,因A1D为A1C在面A1ABB1中的射影,又已知AB1⊥A1C由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D,从而∠A1AB1、∠A1DA都与∠B1AB互余,因此∠A1AB1=∠A1DA,所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A,因此AA1:AD=A1B1:AA1,即AA12=AD•A1B1=8,得AA1=2,从而A1D==2,所以Rt△A1D1D中,cos∠A1DD1===
解法二:如图2,过D作DD1∥AA1交A1B1于D1,在直三棱柱中,有DB,DC,DD1两两垂直,以D为原点,射线DB,DC,DD1分别为X轴、Y轴、Z轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz。
设直三棱柱的高为h,则A(﹣2,0,0),A1(﹣2,0,h),B1(2,0,h),C(0,,0),C1(0,,h),从而=(4,0,h),=(2,,﹣h)
由AB1⊥A1C,可得8﹣h2=0,h=2,故=(﹣2,0,2),=(0,0,2),=(0,,0)
设平面A1CD的法向量为=(x1,y1,z1),则有⊥,⊥
∴ •=0且•=0,即,取z1=1,则=(,0,1)
设平面C1CD的法向量为=(x2,y2,z2),则⊥,⊥,即且=0,取x2=1,得=(1,0,0),
所以cos<,>===,所以二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值
知识点
如图,在四棱锥中,平面,,,,,是的中点。
(1)证明:平面;
(2)若直线与平面所成的角和与平面所成的;角相等,求四棱锥的体积。
正确答案
见解析
解析
解法1:(1)如图(1),连接AC,由AB=4,,
E是CD的中点,所以
所以
而内的两条相交直线,所以CD⊥平面PAE.
(2)过点B作
由(1)CD⊥平面PAE知,BG⊥平面PAE.于是为直线PB与平面PAE
所成的角,且.
由知,为直线与平面所成的角.:
由题意,知
因为所以
由所以四边形是平行四边形,故于是
在中,所以
于是
又梯形的面积为所以四棱锥的体积为
解法2:如图(2),以A为坐标原点,所在直线分别为建立空间直角坐标系.设则相关的各点坐标为:
(1)易知因为
所以而是平面内的两条相交直线,所以
(2)由题设和(1)知,分别是,的法向量,而PB与
所成的角和PB与所成的角相等,所以
由(1)知,由故
解得.
又梯形ABCD的面积为,所以四棱锥的体积为
.
知识点
如图,在五棱锥P—ABCDE中,PA⊥平面ABCDE,AB∥CD,AC∥ED,AE∥BC,∠ABC=45。
,AB=2,BC=2AE=4,三角形PAB是等腰三角形。
(1)求证:平面PCD⊥平面PAC;
(2)求直线PB与平面PCD所成角的大小;
(3)求四棱锥P—ACDE的体积。
正确答案
见解析。
解析
(1) 证明 :在中,因为
所以
因此 ,故所以
又 所以,
又 ,
所以 ,
所以 。
(2)解法一:
因为 三角形是等腰三角形,
所以 ,
因此 。
又 ,
所以点B到平面的距离等于点A到平面的距离。
由于,在中,,
所以 ,
故 边上的高为2,此即为点A到平面的距离。
所以B到平面平面的距离为。
设直线与平面所成的角为,
则,
又,
所以 。
解法二:
由(1)知两两垂直,分别以为轴轴轴建立空间直角坐标系,由于三角形是等腰三角形,所以 ,
又,
因此 ,
因为 ,
所以 四边形是个直角梯形,
因为 ,
所以 ,
因此 ,
故 ,
所以 。
因此 ,
设是平面的一个法向量,
则 ,
解得 ,
取,得,
又,
设表示向量与平面的法向量所成的角,
则 ,
所以 ,
因此直线PB与平面PCD所成角为。
(3)因为,
所以 四边形四边形是个直角梯形,
因为 ,
所以 ,
因此 ,
故 ,
所以 。
又 ,
所以 四棱锥P—ACDE的体积。
知识点
如图,四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,E为BD的中点,G为PD的中点,△DAB≌△DCB,EA=EB=AB=1,PA=,连接CE并延长交AD于F.
(1)求证:AD⊥平面CFG;
(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值.
正确答案
见解析
解析
知识点
如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点。
(1)证明B1C1⊥CE;
(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值;
(3)设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为,求线段AM的长。
正确答案
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解析
(方法一)
(1)
证明:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0)。
易得=(1,0,-1),=(-1,1,-1),于是·=0,
所以B1C1⊥CE.
(2)=(1,-2,-1)。
设平面B1CE的法向量m=(x,y,z),
则即
消去x,得y+2z=0,不妨令z=1,可得一个法向量为m=(-3,-2,1)。
由(1),B1C1⊥CE,又CC1⊥B1C1,可得B1C1⊥平面CEC1,
故=(1,0,-1)为平面CEC1的一个法向量。
于是cos〈m,〉=,
从而sin〈m,〉=.
所以二面角B1-CE-C1的正弦值为.
(3)=(0,1,0),=(1,1,1)。
设=λ=(λ,λ,λ),0≤λ≤1,有=+=(λ,λ+1,λ)。
可取=(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量。
设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角,则
sin θ=|cos〈,〉|=
=.
于是,解得,
所以AM=.
(方法二)
(1)
证明:因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1,B1C1平面A1B1C1D1,
所以CC1⊥B1C1.
经计算可得B1E=,B1C1=,EC1=,
从而B1E2=,
所以在△B1EC1中,B1C1⊥C1E,
又CC1,C1E平面CC1E,CC1∩C1E=C1,
所以B1C1⊥平面CC1E,
又CE平面CC1E,故B1C1⊥CE.
(2)过B1作B1G⊥CE于点G,连接C1G.
由(1),B1C1⊥CE,故CE⊥平面B1C1G,得CE⊥C1G,
所以∠B1GC1为二面角B1-CE-C1的平面角。
在△CC1E中,由CE=C1E=,CC1=2,可得C1G=.
在Rt△B1C1G中,B1G=,
所以sin∠B1GC1=,
即二面角B1-CE-C1的正弦值为.
(3)连接D1E,过点M作MH⊥ED1于点H,可得MH⊥平面ADD1A1,连接AH,AM,则∠MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角。
设AM=x,从而在Rt△AHM中,有MH=,AH=.
在Rt△C1D1E中,C1D1=1,ED1=,得EH=.
在△AEH中,∠AEH=135°,AE=1,
由AH2=AE2+EH2-2AE·EHcos 135°,得,
整理得5x2--6=0,解得x=.
所以线段AM的长为.
知识点
如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=.
(1)证明:A1C⊥平面BB1D1D;
(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小。
正确答案
见解析
解析
(1)
证法一:由题设易知OA,OB,OA1两两垂直,以O为原点建立直角坐标系,如图。
∵AB=AA1=,
∴OA=OB=OA1=1,
∴A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,0,0),D(0,-1,0),A1(0,0,1)。
由=,易得B1(-1,1,1)。
∵=(-1,0,-1),=(0,-2,0),
=(-1,0,1),
∴·=0,·=0,
∴A1C⊥BD,A1C⊥BB1,
∴A1C⊥平面BB1D1D。
证法二:∵A1O⊥平面ABCD,∴A1O⊥BD。
又∵ABCD是正方形,∴BD⊥AC,∴BD⊥平面A1OC,∴BD⊥A1C。
又∵OA1是AC的中垂线,∴A1A=A1C=,且AC=2,∴AC2=AA12+A1C2,∴△AA1C是直角三角形,∴AA1⊥A1C。
又BB1∥AA1,∴A1C⊥BB1,∴A1C⊥平面BB1D1D。
(2)解:设平面OCB1的法向量n=(x,y,z),
∵=(-1,0,0),=(-1,1,1),
∴∴
取n=(0,1,-1),
由(1)知,=(-1,0,-1)是平面BB1D1D的法向量,
∴cos θ=|cos〈n,〉|=.
又∵0≤θ≤,∴
知识点
如图,在四棱锥中,平面平面 ,,,,.
(1) 证明:平面;
(2) 求二面角的大小.
正确答案
见解析
解析
(1)在直角梯形BCDE中,由DE=BE=1,CD=2,得BD=BC= ,
由 ,AB=2得 ,即AC⊥BC,又平面ABC⊥平面BCDE,
从而AC⊥平面BCDE,
所以AC⊥DE,又DE⊥DC,从而
DE⊥平面ACD;
(2)方法1
作BF⊥AD,与AD交于点F,过点F作FG∥DE,与AB交于点G,连接BG,由(1)知DE⊥AD,则FG⊥AD,所以∠BFG就是二面角B-AD-E的平面角,在直角梯形BCDE中,由CD2=BC2+BD2,得BD⊥BC,
又平面ABC⊥平面BCDE,得BD⊥平面ABC,从而
BD⊥AB,由于AC⊥平面BCDE,得
AC⊥CD。
在Rt△ACD中,由DC=2, ,得 ;
在Rt△AED中,由ED=1,得 ;
在Rt△ABD中,由 ,AB=2,
得 , ,从而 ,
在△ABE,△ABG中,利用余弦定理分别可得 , 。
在△BFG中, ,
所以,∠BFG= ,即二面角B-AD-E的大小为 。
方法2:以D的原点,分别以射线DE,DC为x,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系 ,如图所示.
由题意知各点坐标如下: , , , , 。
设平面ADE的法向量为
平面ABD的法向量为,可算得:
, ,
由 即 ,可取
由即可取
于是
由题意可知,所求二面角是锐角,故二面角B-AD-E的大小为
知识点
已知三棱锥P-ABC中,PA⊥ABC,AB⊥AC,PA=AC=½AB,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点。
(1)证明:CM⊥SN;
(2)求SN与平面CMN所成角的大小。
正确答案
见解析。
解析
设PA=1,以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系如图。
则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0,),N(,0,0),S(1,,0)。
(1),
因为,
所以CM⊥SN
(2),
设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,
则
因为
所以SN与片面CMN所成角为45°。
知识点
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