热门试卷

(1)方法一:如图6,取的中点,且是中点,所以.因为是中点,所以;又因为(Ⅰ)且,所以,所以面面,且面,所以面;

方法二:

如图7所示,取中点,且是中点,所以;取的三等分点,使,且,所以,所以,且,所以面;

(2)如图8所示,由已知得到面面,过作于,所以,过作于,连接,所以就是的二面角;由已知得到,设,所以

,

在中,,所以在中, ,所以在中

.

（1）以直线、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则，，，所以。∴。

又是平面的一个法向量，    ∵即，

∴∥平面。中学联盟网

（2）设，则，又

设，则，即。

设是平面的一个法向量，则

 ，         ，

取 得   ，    即 

又由题设，是平面的一个法向量，

∴   。

即点为中点，此时，，为三棱锥的高，

∴      。

（1），

，

所以.

（2）当时，；

当时，

（法一）（1）

取中点为，连接、，

 且，

，则 且，

四边形为矩形， 且，

且，

，则。

平面，平面，

平面。

（2）过点作的平行线交的延长线

于，连接，，，

，

，，，四点共面。

四边形为直角梯形，四边形为矩形，

，，又，

平面，，

又平面平面，

为平面与平面所成锐二面角的平面角。

，。

即平面与平面所成锐二面角的余弦值为。

（3）

过点作于，连接，

根据（2）知，，，四点共面，，

，，

又， 平面，

，则。

又， 平面。

直线与平面所成角为。

，，

，，，

。

即直线与平面所成角的余弦值为。

（法二）（1）

四边形为直角梯形，四边形为矩形，

，，

又平面平面，且

平面平面，

平面。

以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，

所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系。

根据题意我们可得以下点的坐标：

，，，，，， 则，。

，， 为平面的一个法向量。

又，

平面。

（2）设平面的一个法向量为，则

，，

，  取，得。

平面，

平面一个法向量为，

设平面与平面所成锐二面角的大小为，

则。

因此，平面与平面所成锐二面角的余弦值为。

（3）根据（2）知平面一个法向量为，

，   ，

设直线与平面所成角为，则。

因此，直线与平面所成角的余弦值为。

（1）∵平面平面，，

平面，平面平面,

∴平面，                                                即是三棱锥的高,

又∵，，，

∴

,

∴，

,

∴三棱锥的体积.

（2）方法一：

∵平面，平面，∴

又∵，，∴平面，                             ∵平面，∴

∴

∵,∴

∴

∴,即

由已知可知,

∵,∴平面

∵平面，∴平面平面

所以平面与平面所成二面角的平面角的大小为.                

     方法二：

过E作直线，交BC于G，则，

如图建立空间直角坐标系，则，

，         设平面的法向量为，

则，即化简得

令，得，所以是平面的一个法向量.

同理可得平面PCD的一个法向量为

设向量和所成角为，则

∴平面与平面所成二面角的平面角的大小为.

证明（1）方法一：如图6，取的中点，且是中点，所以。因为是中点，所以；又因为（Ⅰ）且，所以，所以面面，且面，所以面；

方法二：如图7所示，

取中点，且是中点，所以；取的三等分点，使，且，所以，所以，且，所以面；

（2）如图8所示，

由已知得到面面，过作于，所以，过作于，连接，所以就是的二面角；由已知得到，设，所以

，

在中，，所以在中， ，所以在中

解法一：

（1）证明：延长交的延长线于点，连接.

∵∥，且，

∴为的中点.

∵为的中点，

∴∥.

∵平面，平面，

∴∥平面.

（2）解：∵平面，平面，

∴.

∵△是边长为的等边三角形，是的中点，

∴，.

∵平面，平面，，

∴平面.

∴为与平面所成的角.

∵，

在Rt△中，，

∴当最短时，的值最大，则最大.

∴当时，最大. 此时，.

∴.

∵∥，平面，

∴平面.

∵平面，平面，

∴，.

∴为平面 与平面所成二面角（锐角）.

在Rt△中，，.

∴平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值为.

解法二：

（1）证明：取的中点，连接、.

∵为的中点，

∴∥，且.

∵∥，且，

∴∥，.

∴四边形是平行四边形。

∴∥.

∵平面，平面，

∴∥平面.

（2）解：∵平面，平面，

∴.

∵△是边长为的等边三角形，是的中点，

∴，.

∵平面，平面，，

∴平面.

∴为与平面所成的角.

∵，

在Rt△中，，

∴当最短时，的值最大，则最大.

∴当时，最大. 此时，.

∴.

在Rt△中，.

∵Rt△～Rt△，

∴，即.

∴.

以为原点，与垂直的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，

建立空间直角坐标系.

则，，，.

∴，，.

设平面的法向量为，

由，，

得

令，则.

∴平面的一个法向量为.

∵平面，  ∴是平面的一个法向量。

∴.

∴平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值为.

（1）证明：取中点，连结，在△中，

分别为的中点，所以∥，且

，由已知∥，，所以

∥，且，所以四边形为平行四边形，

所以∥。

又因为平面，且平面，

所以∥平面，

（2）证明：在正方形中，，又因为

平面平面，且平面平面，

所以平面，所以。

在直角梯形中，，，可得。

在△中，，所以。

所以平面。

又因为平面，所以平面平面。

（3）（方法一）延长和交于，在平面

内过作于,连结，由平面平面，

∥，，平面平面=，

得，于是。

又，平面，所以，

于是就是平面与平面所成锐二面角的

平面角。

由，得.

又，于是有.

在中，.

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为，………14分

（方法二）

由（2）知平面，且。

以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，易得  .平面的一个法向量为.设为平面的一个法向量，因为，所以，令，得。

所以为平面的一个法向量， ……１２分

设平面与平面所成锐二面角为，

则，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为，