热门试卷

解法一   向量法

由已知，AD．DE．DG两两垂直，建立如图的坐标系，

则A（0，0，2），

B（2，0，2），C（0，1，2），E（2，0，0），

G（0，2，0），F（2，1，0）

（Ⅰ），

∴，所以BF∥CG．又BF平面ACGD，

故 BF//平面ACGD

（Ⅱ），设平面BCGF的法向量为，

则，令，则，

而平面ADGC的法向量

∴＝

故二面角D-CG-F的余弦值为

（Ⅲ）设DG的中点为M，连接AM．FM，

则＝

＝＝＝．

解法二 （Ⅰ）设DG的中点为M，连接AM、FM，则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，

所以MF//DE，且MF＝DE又∵AB//DE，且AB＝DE

∴MF//AB，且MF＝AB

∴四边形ABMF是平行四边形，即BF//AM，

又BF平面ACGD                             故 BF//平面ACGD

（Ⅱ）由已知AD⊥面DEFG∴DE⊥AD ，DE⊥DG即DE⊥面ADGC ，

∵MF//DE，且MF＝DE ，  ∴MF⊥面ADGC

在平面ADGC中，过M作MN⊥GC，垂足为N，连接NF，则

显然∠MNF是所求二面角的平面角．

∵在四边形ADGC中，AD⊥AC，AD⊥DG，AC=DM＝MG＝1

       ∴， ∴MN＝

在直角三角形MNF中，MF＝2，MN

∴＝＝＝，＝

故二面角D-CG-F的余弦值为

（Ⅲ）＝＝

＝＝．

（1）取的AB中点H，连接DH，易证BH//CD，且BD=CD

所以四边形BHDC为平行四边形，所以BC//DH

所以∠PDH为PD与BC所成角

因为四边形，ABCD为直角梯形，且∠ABC=45o，  所以⊥DA⊥AB

又因为AB=2DC=2，所以AD=1，  

因为Rt△PAD、Rt△DAH、Rt△PAH都为等腰直角三角形，

所以PD=DH=PH=，故∠PDH=60o

（2）连接CH，则四边形ADCH为矩形，

 ∴AH=DC   又AB=2，∴BH=1

在Rt△BHC中，∠ABC=45o ，

 ∴CH=BH=1，CB=  

∴AD=CH=1，AC=

∴AC2+BC2=AB2    

∴BC⊥AC

又PA平面ABCD

∴PA⊥BC ……7分

∵PA∩AC=A

∴BC⊥平面PAC

（3）

如图，分别以AD、AB、AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则由题设可知：

A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，

∴=(0，0，1)，=(1，1，-1)

设m=(a，b，c)为平面PAC的一个法向量，即

设，则，∴m=(1，-1，0)

同理设n=(x，y，z) 为平面PCD的一个法向量，求得n=(1，1，1)

∴

所以二面角A-PC-D为60o

取AM的中点O，AB的中点B，则两两垂直，以O为原点建立空间直角坐标系，如图。根据已知条件，得,,,  

（1）由于,则,故.

（2）

设存在满足条件的点E,并设，

则

则点E的坐标为.（其中）易得平面ADM的法向量可以取，设平面AME的法向量为，则,

则

则，取 *由于二面角大小为，则      ，由于，故解得.故当E位于线段DB间，且时，二面角大小为

（Ⅰ）以分别为轴建立空间直角坐标系

则

的一个法向量

，。即

（Ⅱ）依题意设，设面的法向量

则，

令，则，面的法向量

，解得

为EC的中点，，到面的距离

（1）取AE的中点M，连结B1M，

因为BA=AD=DC=BC=a，△ABE为等边三角形，

则B1M=，又因为面B1AE⊥面AECD，

所以B1M⊥面AECD，

所以

（2）连结ED交AC于O，连结OF，因为AECD为菱形，OE=OD所以FO∥B1E，

所以。

（3）连结MD，则∠AMD=，分别以ME,MD,MB1为x,y,z轴建系，则,

,,,

所以，，,,

设面ECB1的法向量为，，

令x=1, ，同理面ADB1的法向量为

，  所以，

故面所成锐二面角的余弦值为.

（1）；

（2）取中点，连结．

为正三角形，．

正三棱柱中，

平面平面，

平面．

连结，在正方形中，

分别为的中点，

，．

在正方形中，，

又平面，

平面．

（3）中，，．

在正三棱柱中，到平面的距离为．

设点到平面的距离为．

由得，

．

∴点到平面的距离为．