线面角和二面角的求法_章节学习

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,BC⊥平面ABP,且△ABP是B为直角的等腰直角三角形,若AD=AB=2BC,则二面角A-DC-P的平面角为____________.

正确答案

解析

由题意可知BC,BA,BP两两垂直,

分别以BA,BP,BC所在的直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

设BA=a(a>0),

则

所以A(a,0,0),D(a,0,),C(0,0,a),P(0,a,0),

显然BP⊥平面ABCD,

所以=(0,a,0)是平面ABCD的一个法向量,

设平面DCP的法向量为n=(x,y,z),

则即

令x=1,则,y=-1,

所以n=(1,-1,-),

则cos􀎮 ,n􀎯 ,

由图观察可知二面角A-DC-P的平面角为锐角,

所以二面角A-DC-P的平面角为.

知识点

直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

10.如图,DE平面ABCD,菱形ABCD的边长为2,对角线交于点O,若∠ADC=120°,DE=2,BE上一点F满足OFDE,则直线AF与平面BCE所成角的正弦值为______.

正确答案

解析

∵DE⊥平面ABCD,OF∥DE,∴OF⊥平面ABCD,以O为原点OA,OB,OF分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示:

则A(,0,0),B(0,1,0),C(-,0,0),E(0,-1,2),F(0,0,1),=(-,0,1),=(-,-1,0),=(0,-1,1),

设平面BCE的法向量为n=(x,y,z),则⇒取n=(1,-,-),

则cos<,n>===--

设直线AF和平面BCE所成的角为θ,则sin θ=|cos<,n>|=

知识点

直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

2.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是AB,B1C的中点，则直线EF和平面ABCD所成角的正切值为（）

A

B

C

D2

正确答案

A

解析

如图,建立空间直角坐标系,

设正方体的棱长为1,则点A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),,,,

又∵ =(0,0,1)为底面ABCD的一个法向量，

∴直线EF和平面ABCD所成角θ的正弦值为sin θ=,

∴tan θ=,故选A。

知识点

线面角和二面角的求法

1

题型：简答题

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简答题 · 3 分

9．如图，已知正方体，，为棱的中点，则与平面所成的角为．（，）（结果用反三角表示）

正确答案

解析

由题可知，BE=，AB=2,所以∠AEB =。

考查方向

本题主要考查了立体几何的线面角。

解题思路

本题考查立体几何的线面角，解题步骤如下：连接BE，则∠AEB为所求线面角，解三角形即可。

易错点

本题要注意作辅助线。

知识点

棱柱的结构特征线面角和二面角的求法

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19．如图，在长方体中，，，、分别是、的中点．证明、、、四点共面，并求直线与平面所成的角的大小.

正确答案

解析

因此直线与平面所成的角的大小为．

知识点

线面角和二面角的求法

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，,, 分别为的中点，点在线段上.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）如果直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，求的值.

正确答案

（1）略

（2）

解析

（Ⅰ）证明：在平行四边形中，因为，，

所以.

由分别为的中点，得，

所以.

因为侧面底面，且，

所以底面.

又因为底面，

所以.

又因为，平面，平面，

所以平面.

（Ⅱ）因为底面，，

所以两两垂直，故以

分别为轴、轴和轴，如上图建立空间直角坐标系，则

，

所以，，，

设，则，

所以，，

易得平面的法向量.

设平面的法向量为，

由，，得

令, 得.

因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，

所以，即，

所以，解得，或（舍）.

考查方向

本题主要考查立体几何中的线面垂直的证明，以及如何用空间向量去求空间线和面所成的角，难度中档，属高考理科数学中的热点问题。常常与空间线、面的平行于垂直以及二面角、线面角等结合出题。

解题思路

第一问分析底面，证明AC和EF垂直，第二问建立空间直角坐标系，设的值，然后根据这个值表示M点坐标，再来分别表示EM与平面ABCD和PBC所称的角的余弦值，然后列出方程，求出

易错点

1、第一问只能得到而找不到第二组垂直

2、第二问尝试用综合法解决，但是却无法表示ME与平面PBC所成的角；

3、第二问用空间向量解决，却无法根据P和D点坐标表示M点的坐标

知识点

直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19．如图，在三棱锥D-ABC中，DA=DB=DC, D在底面ABC上的射影E，AB⊥BC，DF⊥AB于F．

（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；

（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=60°，求直线BE与平面DAB所成的角的正弦值.

正确答案

（Ⅰ）证明见解析；

（Ⅱ）.

解析

（Ⅰ）如图，由题意知平面

所以，又，所以平面

又平面所以平面平面

（Ⅱ）如图建系，

则，，，

所以

设平面的法向量为

由得，取

设与的夹角为，所以

所以与平面所成的角的正弦值为

考查方向

空间中垂直关系的证明及空间线面角的求解.

解题思路

本题考查了空间中垂直关系的证明及空间线面角的求解

（Ⅰ）由线面垂直到线线垂直到线面垂直再到面面垂直。

（Ⅱ）求出平面的法向量和BE的方向向量所成角的余弦值即直线BE与平面DAB所成的角的正弦值。

易错点

本题易在算平面的法向量时出错，也易在算向量和法向量的夹角时易在正余弦的发生混用。

知识点

平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19. 如图,三棱柱ABC-A1B1C1所有的棱长均为2,B1在底面上的射影D在棱长BC上,且A1B∥平面ADC1。

（Ⅰ）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；

（Ⅱ）求平面ADC1与平面A1AB所成角的正弦值．

正确答案

见解析

解析

（Ⅰ）连接A1C交AC1于点O,连接OD,则平面A1BC∩平面ADC1=OD。∵A1B∥平面ADC1,∴A1B∥OD,又为O为A1C的中点。

∴D为BC的中点,则AD⊥BC。

又B1D⊥平面ABC,∴AD⊥B1D，BC∩B1D=D。

∴AD⊥平面BCC1B1。

又AD平面ADC1,从而平面ADC1⊥平面BCC1B1。

（Ⅱ）以D为坐标原点,DC,DA,DB1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D（0,0,0）,B（-1,0,0）,A（0,,0），B1（0,0,），C1（2,0,）

易知=（1,,0）,（1,0,）,设平面A1AB的一个法向量为=（x,y,z）。

则,即,取x=-,则=（-,1,1）。（9分）

易知=（0,,0），=（2,0,），同理可得平面ADC1的一个法向量为=（-,0,2）。

∴cos<,>===。

那么平面ADC1与平面A1AB所成角的正弦值为。

考查方向

平面与平面垂直的判定；求二面角的平面角的三角函数值

解题思路

通过线面垂直证明面面垂直，找到二面角的平面角构造三角形，进而计算出二面角的平面角的余弦值

易错点

找不到垂直关系，找不到二面角

知识点

直线与平面平行的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14.将边长为2的正沿边上的高折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为________.

正确答案

解析

由是正三角形，为高，折叠后，

所以为二面角的平面角，

所以折叠后，，

所以面，

所以以分别为长、宽、高补成长方体，此长方体的外接球即为三棱锥的外接球，而易求长方体的外接球半径为，

所以三棱锥的外接球的表面积为。

考查方向

本题主要考查立体几何的折叠问题，线面垂直，二面角以及球的切接问题，意在考查考生的空间想象能力和运算求解能力。

解题思路

1.将题中给出的直二面角的平面角找出，

2.将三棱锥补形成长方体，求长方体外接球的半径，继而求出三棱锥的外接球的表面积。

易错点

1.无法找到直二面角的平面角导致无法进行下去；

2.不会将三棱锥补形成长方体。

知识点

球的体积和表面积与球体有关的内切、外接问题线面角和二面角的求法

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

19．如图，在三棱柱中，点在平面内的射影为棱的中点，侧面是边长为2的菱形，．

（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．

正确答案

（Ⅰ）略

（Ⅱ）

解析

试题分析：本题属于立体几何中的线面关系的位置关系的问题，难度不大，只要熟悉了线面关系中平行与垂直的判定和性质定理和空间坐标系求二面角的方法，即可完成。

（Ⅰ）由题意得,平面，所以，

因为，平面，

所以平面，

所以．

因为为菱形，所以，分

因为平面，所以平面．

（Ⅱ）由（Ⅰ）讨论可知，三条直线两两垂直．以点为原点，分别以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系．

各点坐标分别为．

由平面可知，为平面的一个法向量．

设为平面的一个法向量，则

取．

所以．

所以二面角的大小．

考查方向

本题主要考查直线与直线、直线与平面及平面与平面的位置关系、空间坐标系的应用等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力．难度一般．

解题思路

本题主要考查直线与直线、直线与平面及平面与平面的位置关系、空间坐标系的应用等知识，

解题步骤如下：

由线线垂直推出线面垂直；

合理建系，求出法向量，进而求出二面角。

易错点

第一问在书写时易遗漏平面这些条件；

第二问找不到合理的建系方法，因而产生错误答案。

知识点

直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

热门试卷

正确答案

解析

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