热门试卷

设．如图,过作平行于,以为坐标原点,分别以,的方向为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系(点与点重合)．

则,．

因为为的中点,所以分别为的中点,

故,

所以,,．

设平面的法向量为，

则 即 故有

从而 取,则,

所以是平面的一个法向量．

设平面的法向量为,

则 即 故有

从而 取,则,

所以是平面的一个法向量．

设二面角的平面角为,又为锐角，

则

．

故二面角的余弦值为．

试题分析：本题属于立体几何中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难．

(1)分别取AB、CD的中点M、N，连接EM、EN、MN，多面体体积转化为棱柱AED-MFN的体积V1与四棱锥F-MBCN的体积V2之和。

由三视图可知，AD=2，AM=DN=1，面ADE为正三角形且垂直于底面ABCD，知F点到底面的距离为。所以V=V1+V2=+/3=.

(2) 取MN的中点O,BC的中点P，以OM为x轴，OP为y轴，OF为z轴建立坐标系，

易知A(1,-1,0)，B(1,1,0)，F(0,0, )，C(-1,1,0)，则

设面ABF的法向量由，可得面ABF的一个法向量

同理。设二面角A-BF-C的平面角为θ，

，

（1）证明：关键步骤：,则.

（2）由已知可得四棱柱为正方体，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，如图建立直角坐标系，设棱长为2，易求得面的一个法向量为，，则面的一个法向量为，则，所以二面角的余弦值为.

试题分析：（Ⅰ）通过建立空间直角坐标系，利用平面SCD的法向量即可证明AM∥平面SCD；（Ⅱ）分别求出平面SCD与平面SAB的法向量，利用法向量的夹角即可得出；（Ⅲ）利用线面角的夹角公式即可得出表达式，进而利用二次函数的单调性即可得出．

（Ⅰ）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则

A（0，0，0），B（0，2，0），D（1，0，0，），S（0，0，2），M（0，1，1）．

则，，．

设平面SCD的法向量是，

则，即令z=1，则x=2，y=﹣1．

于是．

∵，∴．又∵AM⊄平面SCD，∴AM∥平面SCD．

（Ⅱ）易知平面SAB的法向量为．设平面SCD与平面SAB所成的二面角为α，则==，即．∴平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为．

（Ⅲ）设N（x，2x﹣2，0），则．

∴===．

当，即时，．

试题分析：本题属于立体几何的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求，（2）要注意判定定理的条件要全

（Ⅰ）证明：在平行四边形中，因为，，

所以．

由分别为的中点，得，

所以．

因为侧面底面，且，

所以底面．

又因为底面，

所以．

又因为，平面，平面，

所以平面．

（Ⅱ）证明：因为为的中点，分别为的中点，

所以，

又因为平面，平面，

所以平面．

同理，得平面．

又因为，平面，平面，

所以平面平面．

又因为平面，

所以平面．

（Ⅲ）解：因为底面，，所以两两垂直，故以

分别为轴、轴和轴，如下图建立空间直角坐标系，

则，

所以，，，

设，则，

所以，，

易得平面的法向量．

设平面的法向量为，

由，，得

令, 得．

因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，

所以，即，

所以 ，

解得，或（舍）．