线面角和二面角的求法_章节学习

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11.平面a过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，a//平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABA1B1=n，则m、n所成角的正弦值为

A

B

C

D

正确答案

A

知识点

平行关系的综合应用线面角和二面角的求法

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

19.如图，四棱锥中，地面，，，，为线段上一点，，为的中点．

（I）证明平面；

（II）求直线与平面所成角的正弦值.

正确答案

（Ⅰ）

由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.

又，故学.科.网平行且等于，四边形为平行四边形，于是.

因为平面，平面，所以平面；（Ⅱ）．

解析

（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.

又，故学.科.网平行且等于，四边形为平行四边形，于是.

因为平面，平面，所以平面.

（Ⅱ）取的中点，连结，由得，从而，且.

以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系由题意知，

，，，，

，，.

设为平面的法向量，则，即，可取，

于是.

考查方向

1、空间直线与平面间的平行与垂直关系；2、棱锥的体积．

解题思路

1.结合线面平行的判定定理可证

2.建立直角坐标系

易错点

线面平行中平行关系的构造问题，利用平面法向量求面面角时注意法向量的正确运算，注意二面角是锐角还是钝角。

知识点

线面角和二面角的求法

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

13.如图，在中，是的中点，是上两个三等分点，，，则的值是．

正确答案

；

解析

令，，则，，，

则，，，，，，

则，，，

由，可得，，因此，

因此．

考查方向

向量数量积

解题思路

设出基向量，求出向量表达式，利用向量的关系通过转化求出数量积。

易错点

向量的线性转化运算。

知识点

线面角和二面角的求法

1

题型：填空题

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填空题 · 12 分

（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD.E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.

（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；

（II）若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

正确答案

（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.

延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点.理由如下：

由已知，BC∥ED，且BC=ED.

所以四边形BCDE是平行四边形.

从而CM∥EB.

又EB平面PBE，CM平面PBE，

所以CM∥平面PBE.

（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）

（Ⅱ）方法一：

由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，

所以CD⊥平面PAD.

从而CD⊥PD.

所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.

所以PDA=45°.

设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.

过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.

易知PA⊥平面ABCD，

从而PA⊥CE.

于是CE⊥平面PAH.

所以平面PCE⊥平面PAH.

过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE.

所以APH是PA与平面PCE所成的角.

在Rt△AEH中，AEH=45°，AE=1，

所以AH=.

在Rt△PAH中，PH== ，

所以sinAPH= =.

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线、平面垂直的综合应用线面角和二面角的求法

1

题型：简答题

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简答题 · 4 分

6.如图，在正四棱柱中，底面的边长为，与底面所成角的大小为，

则该正四棱柱的高等于____________________

正确答案

解析

,

知识点

线面角和二面角的求法

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.

19.求证：EG∥平面ADF；

20.求二面角O-EF-C的正弦值；

21.设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（I）证明：依题意，.设为平面的法向量，则，即 .不妨设，可得，又，可得，又因为直线，所以.

解析

本题属于立体几何的综合应用问题，属于中档题，只要掌握相关立体几何的知识，即可解决本题，解析如下：

由题意可知，，如图建立空间直角坐标系，则

.

（I）证明：依题意，.设为平面的法向量，则，即 .不妨设，可得，又，可得，又因为直线，所以.

考查方向

本题考查了线面平行、二面角、线面角等知识点。

解题思路

（1）直接利用空间向量进行证明；

易错点

解题步骤不完整或考虑不全致推理片面导致出错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）

解析

本题属于立体几何的综合应用问题，属于中档题，只要掌握相关立体几何的知识，即可解决本题，解析如下：

由题意可知，，如图建立空间直角坐标系，则

.

（II）解：易证，为平面的一个法向量.依题意，.设为平面的法向量，则，即 .不妨设，可得.

因此有，于是，所以，二面角的正弦值为.

考查方向

本题考查了线面平行、二面角、线面角等知识点。

解题思路

（2）建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再利用公式即可求出二面角；

易错点

解题步骤不完整或考虑不全致推理片面导致出错。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅲ）

解析

本题属于立体几何的综合应用问题，属于中档题，只要掌握相关立体几何的知识，即可解决本题，解析如下：

由题意可知，，如图建立空间直角坐标系，则

.

（III）解：由，得.因为，所以，进而有，从而，因此.所以，直线和平面所成角的正弦值为.

考查方向

本题考查了线面平行、二面角、线面角等知识点。

解题思路

（3）先求出直线的方向向量与平面的法向量，最后利用公式直接求解．

易错点

解题步骤不完整或考虑不全致推理片面导致出错。

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图4，直三棱柱ABC-ABC的底面是边长为2的正三角形，E,F分别是BC,CC的中点.

20.证明：平面AEF⊥平面BBCC;

21.若直线AC与平面AABB所成的角为45，求三棱锥F-AEC的体积。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

如图，因为三棱柱是直三棱柱，

所以，又E是正三角形的边BC的中点，所以因此，而,

所以.

解析

见答案

考查方向

本题主要考察几何体的体积和面面垂直的判断和性质等知识，意在考察考生的空间向量能力和逻辑推理能力。

解题思路

先证明，得到，由面面垂直的判断定理得到.

易错点

不会证明进而由面面垂直的判断定理得到.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

设AB的中点为D，连接，因为是正三角形，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，因此CD平面，于是是直线与平面所成的角,

由题设知，

所以，,

在中，,所以，

故三棱锥F-AEC的体积.

考查方向

本题主要考察几何体的体积和面面垂直的判断和性质等知识，意在考察考生的空间向量能力和逻辑推理能力。

解题思路

设AB的中点为D，证明是直线与平面所成的角,

由题设知，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积。.

易错点

找不到直线与平面所成的角；

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

17. 如图，边长为的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB//CD，，点M在线段EC上.

（I）证明：平面平面ADEF；

（II）若，求平面BDM与平面ABF所成锐二面角的大小.

正确答案

（2）

解析

试题分析：本题属于几何证明中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难

（Ⅰ）证明：如图，

（Ⅱ）在面内过点作

以为坐标原点，所在的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系则

设平面的法向量为

令

∵平面的法向量，

所以平面与平面所成锐二面角是

考查方向

本题考查了二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定

解题思路

（I）取DE中点N，连接MN，AN，由三角形中位线定理，结合已知中AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，易得四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN，再由线面平面的判定定理，可得BM∥平面ADEF；

（II）由已知中正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，易得ED⊥平面ABCD，进而ED⊥BC，由勾股定理，我们易判断出△BCD中，BC⊥BD，由线面垂直的判定定理可得BC⊥平面BDE，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面BDE⊥平面BEC；

（III）以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEC与平面ADEF的法向量，代入向量夹角公式，即可求出平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值．

易错点

1、第一问中面面垂直的判定定理条件模糊

知识点

平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．

18.求证：BD∥平面FGH；

19.若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

连接，设，连接

在三棱台中，

，为的中点，

可得,

所以四边形为平行四边形，

则为的中点，

又为的中点，

所以,

又平面平面，

所以平面

解析

见答案

考查方向

考查棱台的定义，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理及其性质。

解题思路

（Ⅰ）根据AB=2DE便可得到BC=2EF，从而可以得出四边形EFHB为平行四边形，从而得到BE∥HF，便有BE∥平面FGH，再证明DE∥平面FGH，从而得到平面BDE∥平面FGH，从而BD∥平面FGH；

易错点

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

（II）解法一：

设,则,

在三棱台中，

为的中点，

由,

可得四边形为平行四边形，

因此,

又平面，

所以平面，

在中，由，，是中点，

所以 ,

因此两两垂直，

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

所以

可得

故，

设是平面的一个法向量，则

由可得

可得平面的一个法向量，

因为是平面的一个法向量，

所以

所以平面与平面所成角（锐角）的大小为

考查方向

线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的方法，平面法向量的概念及求法，向量垂直的充要条件，向量夹角余弦的坐标公式，平面和平面所成角的定义．

解题思路

（Ⅱ）连接HE，根据条件能够说明HC，HG，HE三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后求出一些点的坐标．连接BG，可说明为平面ACFD的一条法向量，设平面FGH的法向量为，根据即可求出法向量，设平面FGH与平面ACFD所成的角为θ，根据cosθ=即可求出平面FGH与平面ACFD所成的角的大小．

易错点

二面角法向量的确定，二面角大小的观察。

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

23．直三棱柱中，，，，，.

（1）若，求直线与平面所成角的正弦值；

（2）若二面角的大小为，求实数的值.

正确答案

（1）；

（2）

解析

试题分析：本题属于空间向量中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照求直线与平面所成角的步骤来求（2）根据求二面角的步骤，列出关于实数的方程来求解。

分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.

则，，，，，

（1）当时，为的中点，所以，，，，设平面的法向量为

则，所以取，又，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

（2），，，，

设平面的法向量为，则，

所以取.

又平面的一个法向量为，由题意得，

所以，解得或（不合题意，舍去），

所以实数的值为.

考查方向

本题考查了空间向量、二面角、直线与平面所成角。

解题思路

本题考查二面角、直线与平面所成角的方法。

（1）直线与平面α所成角可先求出平面α的法向量n与直线的方向向量，则

（2）求出二面角α－l－β的大小，可先求出两个半平面α与β的法向量n1，n2，若二面角α－l－β所成的角θ为锐角，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝；若二面角α－l－β所成的角θ为钝角，则cos θ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－

易错点

1、建立空间直角坐标系后，点的坐标书写不正确。

2、二面角、直线与平面所成角的求解。

知识点

棱柱的结构特征线面角和二面角的求法

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