热门试卷

（Ⅰ）因为平面平面，平面∩平面,

所以平面，又平面,

所以

在折起过程中，,同时∩，

所以平面

以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

若时，则各点坐标如下：，, , .

可得平面的法向量．

因为，所以

所以,

故.

则,解得.

所以线段上存在一点，且，使得∥平面ABEF.

（Ⅱ）设，所以，,

所以，

所以当时，有最大值，且最大值为.

可得, , ，.

所以,,,.

设平面的一个法向量为,

则,即.

取，则,

设平面的一个法向量为,

则，即

同理可得

所以

所以二面角E﹣AC﹣F的余弦值为.

解：

而

设的中点为，连结，，.

易知所以四点共面

 ,分别为，，的中点

同理 又

二面角即为平面与平面所成的锐二面角

,,

且

就是平面与平面所成锐二面角的一个平面角

解：在直角梯形中，，

可得：∽，从而可得：①，

又∵平面，∴，

又，所以有平面，

可得：②，

由①②可得：直线平面；      -----------------------------7分

在直角梯形中，，

可得：∽，从而可得：①，

又∵平面，∴，

又，所以有平面，

可得：②，

由①②可得：直线平面；      -----------------------------7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，建立如图空间直角坐标系，

由题意知各点坐标如下：

，   -----------------------9分

因此 ，

设平面的法向量为，

平面的法向量为，

由，

可取；           --------11分

由，

可取；  -----------------------13分

于是，

故二面角的平面角的余弦值为． --------------------------------15分

（Ⅰ）证明：连，∵四边形是矩形，为中点，

∴为中点.

在中，为中点，故.

∵平面，平面，平面

（Ⅱ）依题意知 且

∴平面，过点作，连接

在面上的射影是.

所以为与平面所成的角。

所以：

所以：

设且，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系

则

设分别是平面与平面的法向量

令，

即

取

则

平面与平面所成锐二面角的大小为.

以为原点，所在直线分别为

轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

,.

,

又因为

所以，平面.

（Ⅱ）设为平面的一个法向量．

由，，

得取，则．

又

设与平面所成的角为，则,

即与平面所成的角的的正弦值．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面的一个法向量为

设为平面的一个法向量,

由，，，

得取，则．

设与所成角为，则，

所以二面角的正弦值为．

Ⅰ）平面ABCD，

∵AB//CD，AB⊥AD，∴

平面，CD⊥PD，

∴二为面角P—CD—B的平面角，

，

取PD的中点E，PC的中点F，连结AE，BF，EF，

则，∵平面，

∴,平面，-∵且，，

∴四边形ABFE为平行四边形，∴，平面，

∵面，∴平面平面

（Ⅱ）设点A到平面PBC的距离为，由得分

即点A到平面PBC的距离为

取A1B1的中点F，连接FC1，EF，设EFA1B=G，连接CD，……1

由作图过程易得：四边形CEFC1为平行四边形，EC∥AA1。

在△AA1B中，点E是AB的中点，∴点G是A1B的中点，

EG=AA1=CC1。……………………………3

又CE∥平面A1BD，CE平面EFC1C，

且平面EFC1C平面A1BD=DG，

∴DG∥CE，又∵EG∥CD

∴四边形CEGD为平行四边形，CD=EG=CC1，

∴点D是CC1的中点……………………………6

由（Ⅰ）知EF∥AA1，AA1⊥平面ABC，

∴EF⊥平面ABC

又△ABC是边长为2的等边三角形，点E是AB的中点，

∴CE⊥AB且CE=。

如图，建立空间直角坐标系E-xyz，设EF=2h，…………………7

则B(1,0,0)，C(0,,0)，F(0,0,2h)，A1(-1,0,2h)，D(0,,h)，

，，，

由A1D⊥BD可知：，h=　…………………8

由z轴⊥平面ABC可得：平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1)。…………9

设平面A1BD的法向量为=(x,y,z)，

由　，得，

令x=，则,

∴cos<,>=，

∴平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值为。