热门试卷

（1）证明：因为点E为线段PB的中点，点为线段的中点，

所以 ∥.………………………1分

因为 平面，平面，

所以 ∥平面PAC.…………………………2分

因为 ∥，

因为 平面，平面，

所以 ∥平面PAC.   ………………………3分

因为 平面，平面，，

所以 平面∥平面PAC.……………………………5分

（2）证明：因为 点C在以AB为直径的⊙O上，

所以 ，即.

因为 平面，平面，

所以 .………………………7分

因为 平面，平面，，

所以 平面.

因为 平面，

所以 平面PAC平面.……………………9分

（3）解：如图，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系。

因为 ，，

所以 ，.

延长交于点.

因为 ∥，

所以 .

所以 ，，，.

所以 ，.

设平面的法向量.

因为

所以 即

令，则.

所以 .  ……………………12分

同理可求平面的一个法向量n. …………………13分

所以 .

所以 .………………………14分

（1）证明：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA。

∵∠ACB是直径所对的圆周角，

∴∠ACB=90°，即BC⊥AC。

又∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC。

（2）∵PA⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，

∴OC⊥PA。

∵C是弧AB的中点，∴△ABC是等腰三角形，AC=BC，

又O是AB的中点，∴OC⊥AB。

又∵PA∩AB=A，∴OC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，

∴BP⊥OC。

设BP的中点为E，连接AE，则OF∥AE，AE⊥BP，

∴BP⊥OF。

∵OC∩OF=O，∴BP⊥平面CFO，又CF⊂平面CFO，∴CF⊥BP。

（3）解：由（2）知OC⊥平面PAB，∴OF⊥OC，OC⊥OB，

∴∠BOF是二面角F﹣OC﹣B的平面角。

又∵BP⊥OF，∠FBO=45°，∴∠FOB=45°，

∴，即二面角FOOC﹣B的平面角的正弦值为。

（1）证明：连接，由条件可得∥.

因为平面，平面，

所以∥平面.----------------------4分

（2）证明：由（1）知，.

建立如图所示的空间直角坐标系.

设四棱锥的底面边长为2，

则，，，

，，

.

所以，.

设（），由已知可求得.

所以，.

设平面法向量为，

则 即

令，得.

易知是平面的法向量.

因为，

所以，所以平面平面.---------------------9分

（3）解：设（），由（2）可知，

平面法向量为.

因为，

所以是平面的一个法向量.

由已知二面角的大小为.

所以，

所以，解得.[

所以点是的中点.----------------------14分