- 线面角和二面角的求法
- 共279题
如图,设、
是直角梯形
两腰
、
的中点,
于
,现将
沿
折起,使二面角
为
,此时点
在平面
内的射影恰为点
。
(1)证明:平面
;
(2)证明:平面平面
。
正确答案
见解析
解析
(1)在折起后的图中,取中点
,连结
、
,由题意,
为矩形。
∵ 为
中点,
为
中点,
∴,且
。
又∵为
中点,
且
,
∴且
。
∴四边形为平行四边形。
∴。
又∵平面
,
平面
,
∴平面
。
(2) 在折起后的图中,∵,
,
∴平面
,且
即为二面角
的平面角。
∴。
∵平面
,∴
。
又∵为
中点,∴在等腰
中,有
,
∵,∴
。
∵平面
,
平面
,∴
。
∵,∴
。
∵,∴
平面
。
∵平面
,∴平面
平面
。
知识点
如图:在正方体中,
是
的中点,
是线段
上一点,且
.
(1)求证:;
(2)若平面平面
,求
的值.
正确答案
见解析
解析
(1)不妨设正方体的棱长为1,如图建立空间直角坐标系,
则-------------------2分
于是:-------------------4分
因为,所以
------------5分
故:-------------------6分
(2)由(1)可知平面的法向量取
-----------------8分
由,则
-------------------10分
又设平面的法向量为
由
得,取
得
,即
-------------------12分
因为平面平面
,所以
,得
---
----------------14分
知识点
如图,在四棱锥中,侧面PCD⊥底面
,PD⊥CD,E为PC中点,底面
是直角梯形, AB∥CD,∠ADC=90°, AB=AD=PD=1,CD=2。
(1)求证:BE∥平面PAD;
(2)求证:BC⊥平面
(3)设Q为侧棱PC上一点,,试确定λ的值,使得二面角Q—BD—P的大小为45°
正确答案
见解析
解析
解析:(1)取的中点
,连结
,因为
为
中点,所以
,且
,在梯形
中,
,
,
所以,
,四边形
为平行四边形,所以
,
又因为平面
,
平面
,
所以平面
。
………4分
(2)平面
底面
,
,所以
平面
,所以
,如图,以
为原点建立空间直角坐标系
,则
,
,
,
。
。
所以,又由
平面
,可得
,所以
平面
。 ………8分
(3)平面的法向量为
,
,所以
,
设平面的法向量为
,由
,
,得
,
所以,所以
,
注意到,得
…………12分
知识点
在长方体ABCD—A1B1C1D1中,,点E是棱AB上一点,且
。
(1)证明:;
(2)若二面角D1—EC—D的大小为,求
的值。
正确答案
见解析。
解析
(1)以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,
DD1为z轴建立空间直角坐标系。
不妨设AD =AA1=1,AB=2,
则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,2,0),
C(0,2,0),A1(1,0,1),B1(1,2,1),C1(0,2,1),D1(0,0,1)。
因为=λ,所以,于是
(-1,0,-1)。
所以。
故D1EA1D。
(2)因为D1D⊥平面ABCD,所以平面DEC的法向量为n1=(0,0,1)。
又,
(0,-2,1)。
设平面D1CE的法向量为n2=(x,y,z),
则n2·,n2·
,
所以向量n2的一个解为。
因为二面角D1—EC—D的大小为,则。
解得±-1。
又因E是棱AB上的一点,所以λ>0,故所求的λ值为-1。
知识点
如图,在边长为1的菱形ABCD中,将正三角形BCD沿BD向上折起,
折起后的点C记为,且
(
)。
(1)若,求二面角C—BD—
的大小;
(2)当变化时,线段
上是否总存在一点E,使得A
//平面BED?请说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)
连结,交
于点
,连结
,
菱形ABCD中,,
因三角形BCD沿BD折起,所以,
故为二面角C—BD—
的平面角,
易得,而
,
所以,二面角C—BD—
的大小为
;
(2)当变化时,线段
的中点E总满足A
//平面BED,下证之:
因为E,O分别为线段,AC的中点, 所以
,
又平面BED,
平面BED, 所以A
//平面BED.
知识点
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