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题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图,设是直角梯形两腰的中点,,现将沿折起,使二面角,此时点在平面内的射影恰为点

(1)证明:平面

(2)证明:平面平面

正确答案

见解析

解析

(1)在折起后的图中,取中点,连结,由题意,为矩形。

 为中点,中点,

,且

又∵中点,

∴四边形为平行四边形。

又∵平面平面

平面

(2)   在折起后的图中,∵

平面,且即为二面角的平面角。

平面,∴

又∵中点,∴在等腰中,有

,∴

平面平面,∴

,∴

,∴平面

平面,∴平面平面

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线、平面垂直的综合应用线面角和二面角的求法
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图:在正方体中,的中点,是线段上一点,且.

(1)求证:

(2)若平面平面,求的值.

正确答案

见解析

解析

(1)不妨设正方体的棱长为1,如图建立空间直角坐标系,

-------------------2分

于是:-------------------4分

因为,所以------------5分

故:-------------------6分

(2)由(1)可知平面的法向量取 -----------------8分

,则-------------------10分

又设平面的法向量为

,取,即-------------------12分

因为平面平面,所以,得-------------------14分

知识点

线面角和二面角的求法
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,在四棱锥中,侧面PCD⊥底面,PD⊥CD,E为PC中点,底面是直角梯形, AB∥CD,∠ADC=90°, AB=AD=PD=1,CD=2。

(1)求证:BE∥平面PAD;

(2)求证:BC⊥平面

(3)设Q为侧棱PC上一点,,试确定λ的值,使得二面角Q—BD—P的大小为45°

正确答案

见解析

解析

解析:(1)取的中点,连结,因为中点,所以,且

,在梯形中,

所以,四边形为平行四边形,所以

又因为平面平面

所以平面。                           ………4分

(2)平面底面,所以平面,所以,如图,以为原点建立空间直角坐标系,则

所以,又由平面,可得,所以平面。            ………8分

(3)平面的法向量为

,所以

设平面的法向量为,由,得

所以,所以

注意到,得                                   …………12分

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法
1
题型:简答题
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简答题 · 10 分

在长方体ABCD—A1B1C1D1中,,点E是棱AB上一点,且

(1)证明:

(2)若二面角D1—EC—D的大小为,求的值。

正确答案

见解析。

解析

(1)以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,

DD1为z轴建立空间直角坐标系。

不妨设AD =AA1=1,AB=2,

则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,2,0),

C(0,2,0),A1(1,0,1),B1(1,2,1),C1(0,2,1),D1(0,0,1)。

因为=λ,所以,于是(-1,0,-1)。

所以

故D1EA1D。

(2)因为D1D⊥平面ABCD,所以平面DEC的法向量为n1=(0,0,1)。

(0,-2,1)。

设平面D1CE的法向量为n2=(x,y,z),

n2·n2·

所以向量n2的一个解为

因为二面角D1—EC—D的大小为,则

解得±-1。

又因E是棱AB上的一点,所以λ>0,故所求的λ值为-1。

知识点

线面角和二面角的求法
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图,在边长为1的菱形ABCD中,将正三角形BCD沿BD向上折起,

折起后的点C记为,且)。

(1)若,求二面角C—BD—的大小;

(2)当变化时,线段上是否总存在一点E,使得A//平面BED?请说明理由。

正确答案

见解析

解析

(1)

连结,交于点,连结

菱形ABCD中,

因三角形BCD沿BD折起,所以

为二面角C—BD—的平面角,

易得,而

所以,二面角C—BD—的大小为

(2)当变化时,线段的中点E总满足A//平面BED,下证之:

因为E,O分别为线段,AC的中点,   所以

平面BED,平面BED,   所以A//平面BED. 

知识点

线面角和二面角的求法
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