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题型:简答题
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简答题 · 10 分

如图,在正四棱锥P﹣ABCD中,已知,点M为PA中点,求直线BM与平面PAD所成角的正弦值。

正确答案

见解析。

解析

正四棱锥P﹣ABCD中,,∴OA=OB=OP=1

建立如图所示的空间直角坐标系,

则有A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,﹣1,0),P(0,0,1)

∵M是PA的中点,

∴M(),=(1,0,﹣1),=(0,﹣1,﹣1)

设平面PAD的法向量为=(x,y,1),则由,可得=(1,﹣1,1)

=(

∴cos<>==

∴直线BM与平面PAD所成角的正弦值为

知识点

线面角和二面角的求法
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,在底面是正方形的四棱锥中, 交于点

中点,上一点。

(1)确定点在线段上的位置,使//平面,并说明理由,

(2)当二面角的大小为时,求与底面所成角的正切值。

正确答案

见解析

解析

解析:(1)当中点,即时,平面,理由如下:连结,由中点,中点,知,而平面平面,故平面

(2)作,连结,∵,四边形是正方形,

,又∵,∴

,且,∴是二面角的平面角, 即,∵⊥面,∴就是与底面所成的角连结,则,∴,∴,∴与底面所成角的正切值是,另解:用向量法请参照给分。

知识点

线面角和二面角的求法
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是平行四边形,且AC⊥CD,PA=AD,M,Q分别是PD,BC的中点。

(1)求证:MQ∥平面PAB;

(2)若AN⊥PC,垂足为N,求证:MN⊥PD。

正确答案

故答案为{1}。

解析

(1)取PA的中点E,连结EM、BE,

∵M是PD的中点,∴ME∥AD且ME=AD,

又∵Q是BC中点,∴BQ=BC,

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴BC∥AD且BC=AD,可得BQ∥ME且BQ=ME,

∴四边形MQBE是平行四边形,可得MQ∥BE,

∵BE⊂平面PAB,MQ⊄平面PAB,

∴MQ∥平面PAB;

(2)∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD,

又∵AC⊥CD,PA、AC是平面PAC内的相交直线,

∴CD⊥平面PAC,结合AN⊂平面PAC,得AN⊥CD,

又∵AN⊥PC,PC、CD是平面PCD内的相交直线,

∴AN⊥平面PCD,结合PD⊂平面PCD,可得AN⊥PD,

∵PA=AD,M是PD的中点,∴AM⊥PD,

又∵AM、AN是平面AMN内的相交直线,∴PD⊥平面AMN,

∵MN⊂平面AMN,∴MN⊥PD,

知识点

线面角和二面角的求法
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

如右图,简单组合体ABCDPE,其底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=2EC.

(1)若N为线段PB的中点,求证:EN⊥平面PDB;

(2)若,求平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角的大小。

正确答案

见解析

解析

(1)证法1:连结AC与BD交于点F,连结NF,

∵F为BD的中点,∴NF∥PD且NF=PD.

又EC∥PD,且EC=PD,(2分)

∴NF∥EC,且NF=EC,∴四边形NFCE为平行四边形,∴NE∥FC.(4分)

∵DB⊥AC,PD⊥平面ABCD,AC⊂面ABCD,∴AC⊥PD.

又PD∩BD=D,∴AC⊥面PBD,∴NE⊥面PDB.(6分)

证法2:以点D为坐标原点,以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图所示:设该简单组合体的底面边长为1,PD=a,

则B(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,a),E(0,1,),N(,,),

∴=(,-,0),=(1,1,-a),=(1,1,0)。

∵·=×1-×1-a×0=0,·=×1-×1+0×0=0,

∴EN⊥PB,EN⊥DB.∵PB、DB⊂面PDB,且PB∩DB=B,∴NE⊥面PDB.(6分)

(2)解法1:连结DN,由(1)知NE⊥面PDB,∴DN⊥NE.

,DB=AD,∴PD=DB,∴DN⊥PB,∴为平面PBE的法向量。

设AD=1,则N,∴

∵为平面ABCD的法向量,,(10分)

设平面PBE与平面ABCD所成的二面角为θ,则cosθ=

∴θ=45°,即平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角为45°.(12分)

解法2:延长PE与DC的延长线交于点G,连结GB,

则GB为平面PBE与平面ABCD的交线.(8分)

∵PD=2EC,∴CD=CG=CB,

∴D、B、G在以C为圆心、以BC为半径的圆上,

∴DB⊥BG.(9分)

∵PD⊥平面ABCD,BG⊂面ABCD,∴PD⊥BG,且PD∩DB=D,∴BG⊥面PDB.

∵PB⊂面PDB,∴BG⊥PB,∴∠PBD为平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角的平面角.(10分)

在Rt△PDB中,∵PD=DB,

∴∠PBD=45°,即平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角为45°.(12分)

知识点

直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,简单组合体ABCDPE,其底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=2EC.

(1)若N为线段PB的中点,求证:EN⊥平面PDB;

(2)若=,求平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角的大小。

正确答案

见解析

解析

(1)证法1:连结AC与BD交于点F,连结NF,

∵F为BD的中点,∴NF∥PD且NF=PD.

又EC∥PD,且EC=PD,(2分)

∴NF∥EC,且NF=EC,∴四边形NFCE为平行四边形,∴NE∥FC.(4分)

∵DB⊥AC,PD⊥平面ABCD,AC⊂面ABCD,∴AC⊥PD.

又PD∩BD=D,∴AC⊥面PBD,∴NE⊥面PDB.(6分)

证法2:以点D为坐标原点,以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图所示:设该简单组合体的底面边长为1,PD=a,

则B(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,a),E(0,1,),N(,,),

∴=(,-,0),=(1,1,-a),=(1,1,0)。

∵·=×1-×1-a×0=0,·=×1-×1+0×0=0,

∴EN⊥PB,EN⊥DB.∵PB、DB⊂面PDB,且PB∩DB=B,∴NE⊥面PDB.(6分)

(2)解法1:连结DN,由(1)知NE⊥面PDB,∴DN⊥NE.

∵=,DB=AD,∴PD=DB,∴DN⊥PB,∴为平面PBE的法向量。

设AD=1,则N(,,),∴=(,,)。

∵为平面ABCD的法向量,=(0,0,),(10分)

设平面PBE与平面ABCD所成的二面角为θ,则cosθ===,

∴θ=45°,即平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角为45°.(12分)

解法2:延长PE与DC的延长线交于点G,连结GB,

则GB为平面PBE与平面ABCD的交线.(8分)

∵PD=2EC,∴CD=CG=CB,

∴D、B、G在以C为圆心、以BC为半径的圆上,

∴DB⊥BG.(9分)

∵PD⊥平面ABCD,BG⊂面ABCD,∴PD⊥BG,且PD∩DB=D,∴BG⊥面PDB.

∵PB⊂面PDB,∴BG⊥PB,∴∠PBD为平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角的平面角.(10分)

在Rt△PDB中,∵PD=DB,

∴∠PBD=45°,即平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角为45°.(12分)

知识点

直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法
百度题库 > 高考 > 理科数学 > 线面角和二面角的求法

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