- 线面角和二面角的求法
- 共279题
如图,在正四棱锥P﹣ABCD中,已知,点M为PA中点,求直线BM与平面PAD所成角的正弦值。
正确答案
见解析。
解析
正四棱锥P﹣ABCD中,,∴OA=OB=OP=1
建立如图所示的空间直角坐标系,
则有A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,﹣1,0),P(0,0,1)
∵M是PA的中点,
∴M(),
=(1,0,﹣1),
=(0,﹣1,﹣1)
设平面PAD的法向量为=(x,y,1),则由
,可得
=(1,﹣1,1)
∵=(
)
∴cos<>=
=
∴直线BM与平面PAD所成角的正弦值为。
知识点
如图,在底面是正方形的四棱锥中,
面
,
交
于点
,
是中点,
为
上一点。
(1)确定点在线段
上的位置,使
//平面
,并说明理由,
(2)当二面角的大小为
时,求
与底面
所成角的正切值。
正确答案
见解析
解析
解析:(1)当为
中点,即
时,
平面
,理由如下:连结
,由
为
中点,
为
中点,知
,而
平面
,
平面
,故
平面
。
(2)作于
,连结
,∵
面
,四边形
是正方形,
∴,又∵
,
,∴
,
∴,且
,∴
是二面角
的平面角, 即
,∵
⊥面
,∴
就是
与底面
所成的角连结
,则
,
,
,∴
,
∴
,∴
,∴
∴
与底面
所成角的正切值是
,另解:用向量法请参照给分。
知识点
如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是平行四边形,且AC⊥CD,PA=AD,M,Q分别是PD,BC的中点。
(1)求证:MQ∥平面PAB;
(2)若AN⊥PC,垂足为N,求证:MN⊥PD。
正确答案
故答案为{1}。
解析
(1)取PA的中点E,连结EM、BE,
∵M是PD的中点,∴ME∥AD且ME=AD,
又∵Q是BC中点,∴BQ=BC,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC∥AD且BC=AD,可得BQ∥ME且BQ=ME,
∴四边形MQBE是平行四边形,可得MQ∥BE,
∵BE⊂平面PAB,MQ⊄平面PAB,
∴MQ∥平面PAB;
(2)∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD,
又∵AC⊥CD,PA、AC是平面PAC内的相交直线,
∴CD⊥平面PAC,结合AN⊂平面PAC,得AN⊥CD,
又∵AN⊥PC,PC、CD是平面PCD内的相交直线,
∴AN⊥平面PCD,结合PD⊂平面PCD,可得AN⊥PD,
∵PA=AD,M是PD的中点,∴AM⊥PD,
又∵AM、AN是平面AMN内的相交直线,∴PD⊥平面AMN,
∵MN⊂平面AMN,∴MN⊥PD,
知识点
如右图,简单组合体ABCDPE,其底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=2EC.
(1)若N为线段PB的中点,求证:EN⊥平面PDB;
(2)若,求平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角的大小。
正确答案
见解析
解析
(1)证法1:连结AC与BD交于点F,连结NF,
∵F为BD的中点,∴NF∥PD且NF=PD.
又EC∥PD,且EC=PD,(2分)
∴NF∥EC,且NF=EC,∴四边形NFCE为平行四边形,∴NE∥FC.(4分)
∵DB⊥AC,PD⊥平面ABCD,AC⊂面ABCD,∴AC⊥PD.
又PD∩BD=D,∴AC⊥面PBD,∴NE⊥面PDB.(6分)
证法2:以点D为坐标原点,以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图所示:设该简单组合体的底面边长为1,PD=a,
则B(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,a),E(0,1,),N(,,),
∴=(,-,0),=(1,1,-a),=(1,1,0)。
∵·=×1-×1-a×0=0,·=×1-×1+0×0=0,
∴EN⊥PB,EN⊥DB.∵PB、DB⊂面PDB,且PB∩DB=B,∴NE⊥面PDB.(6分)
(2)解法1:连结DN,由(1)知NE⊥面PDB,∴DN⊥NE.
∵,DB=AD,∴PD=DB,∴DN⊥PB,∴为平面PBE的法向量。
设AD=1,则N,∴
。
∵为平面ABCD的法向量,,(10分)
设平面PBE与平面ABCD所成的二面角为θ,则cosθ=,
∴θ=45°,即平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角为45°.(12分)
解法2:延长PE与DC的延长线交于点G,连结GB,
则GB为平面PBE与平面ABCD的交线.(8分)
∵PD=2EC,∴CD=CG=CB,
∴D、B、G在以C为圆心、以BC为半径的圆上,
∴DB⊥BG.(9分)
∵PD⊥平面ABCD,BG⊂面ABCD,∴PD⊥BG,且PD∩DB=D,∴BG⊥面PDB.
∵PB⊂面PDB,∴BG⊥PB,∴∠PBD为平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角的平面角.(10分)
在Rt△PDB中,∵PD=DB,
∴∠PBD=45°,即平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角为45°.(12分)
知识点
如图,简单组合体ABCDPE,其底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=2EC.
(1)若N为线段PB的中点,求证:EN⊥平面PDB;
(2)若=,求平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角的大小。
正确答案
见解析
解析
(1)证法1:连结AC与BD交于点F,连结NF,
∵F为BD的中点,∴NF∥PD且NF=PD.
又EC∥PD,且EC=PD,(2分)
∴NF∥EC,且NF=EC,∴四边形NFCE为平行四边形,∴NE∥FC.(4分)
∵DB⊥AC,PD⊥平面ABCD,AC⊂面ABCD,∴AC⊥PD.
又PD∩BD=D,∴AC⊥面PBD,∴NE⊥面PDB.(6分)
证法2:以点D为坐标原点,以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图所示:设该简单组合体的底面边长为1,PD=a,
则B(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,a),E(0,1,),N(,,),
∴=(,-,0),=(1,1,-a),=(1,1,0)。
∵·=×1-×1-a×0=0,·=×1-×1+0×0=0,
∴EN⊥PB,EN⊥DB.∵PB、DB⊂面PDB,且PB∩DB=B,∴NE⊥面PDB.(6分)
(2)解法1:连结DN,由(1)知NE⊥面PDB,∴DN⊥NE.
∵=,DB=AD,∴PD=DB,∴DN⊥PB,∴为平面PBE的法向量。
设AD=1,则N(,,),∴=(,,)。
∵为平面ABCD的法向量,=(0,0,),(10分)
设平面PBE与平面ABCD所成的二面角为θ,则cosθ===,
∴θ=45°,即平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角为45°.(12分)
解法2:延长PE与DC的延长线交于点G,连结GB,
则GB为平面PBE与平面ABCD的交线.(8分)
∵PD=2EC,∴CD=CG=CB,
∴D、B、G在以C为圆心、以BC为半径的圆上,
∴DB⊥BG.(9分)
∵PD⊥平面ABCD,BG⊂面ABCD,∴PD⊥BG,且PD∩DB=D,∴BG⊥面PDB.
∵PB⊂面PDB,∴BG⊥PB,∴∠PBD为平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角的平面角.(10分)
在Rt△PDB中,∵PD=DB,
∴∠PBD=45°,即平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角为45°.(12分)
知识点
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