热门试卷

正四棱锥P﹣ABCD中，，∴OA=OB=OP=1

建立如图所示的空间直角坐标系，

则有A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），P（0，0，1）

∵M是PA的中点，

∴M（），=（1，0，﹣1），=（0，﹣1，﹣1）

设平面PAD的法向量为=（x，y，1），则由，可得=（1，﹣1，1）

∵=（）

∴cos＜＞==

∴直线BM与平面PAD所成角的正弦值为。

解析：（1）当为中点，即时，平面，理由如下：连结，由为中点，为中点，知，而平面，平面，故平面。

（2）作于，连结，∵面，四边形是正方形，

∴，又∵，，∴，

∴，且，∴是二面角的平面角， 即，∵⊥面，∴就是与底面所成的角连结，则，，，∴，∴，∴，∴∴与底面所成角的正切值是，另解：用向量法请参照给分。

（1）取PA的中点E，连结EM、BE，

∵M是PD的中点，∴ME∥AD且ME=AD，

又∵Q是BC中点，∴BQ=BC，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC∥AD且BC=AD，可得BQ∥ME且BQ=ME，

∴四边形MQBE是平行四边形，可得MQ∥BE，

∵BE⊂平面PAB，MQ⊄平面PAB，

∴MQ∥平面PAB；

（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，

又∵AC⊥CD，PA、AC是平面PAC内的相交直线，

∴CD⊥平面PAC，结合AN⊂平面PAC，得AN⊥CD，

又∵AN⊥PC，PC、CD是平面PCD内的相交直线，

∴AN⊥平面PCD，结合PD⊂平面PCD，可得AN⊥PD，

∵PA=AD，M是PD的中点，∴AM⊥PD，

又∵AM、AN是平面AMN内的相交直线，∴PD⊥平面AMN，

∵MN⊂平面AMN，∴MN⊥PD，

（1）证法1：连结AC与BD交于点F，连结NF，

∵F为BD的中点，∴NF∥PD且NF＝PD.

又EC∥PD，且EC＝PD，(2分)

∴NF∥EC，且NF＝EC，∴四边形NFCE为平行四边形，∴NE∥FC.(4分)

∵DB⊥AC，PD⊥平面ABCD，AC⊂面ABCD，∴AC⊥PD.

又PD∩BD＝D，∴AC⊥面PBD，∴NE⊥面PDB.(6分)

证法2：以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图所示：设该简单组合体的底面边长为1，PD＝a，

则B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0，a)，E(0,1，)，N(，，)，

∴＝(，－，0)，＝(1,1，－a)，＝(1,1,0)。

∵·＝×1－×1－a×0＝0，·＝×1－×1＋0×0＝0，

∴EN⊥PB，EN⊥DB.∵PB、DB⊂面PDB，且PB∩DB＝B，∴NE⊥面PDB.(6分)

（2）解法1：连结DN，由(1)知NE⊥面PDB，∴DN⊥NE.

∵，DB＝AD，∴PD＝DB，∴DN⊥PB，∴为平面PBE的法向量。

设AD＝1，则N，∴。

∵为平面ABCD的法向量，，(10分)

设平面PBE与平面ABCD所成的二面角为θ，则cosθ＝，

∴θ＝45°，即平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角为45°.(12分)

解法2：延长PE与DC的延长线交于点G，连结GB，

则GB为平面PBE与平面ABCD的交线.(8分)

∵PD＝2EC，∴CD＝CG＝CB，

∴D、B、G在以C为圆心、以BC为半径的圆上，

∴DB⊥BG.(9分)

∵PD⊥平面ABCD，BG⊂面ABCD，∴PD⊥BG，且PD∩DB＝D，∴BG⊥面PDB.

∵PB⊂面PDB，∴BG⊥PB，∴∠PBD为平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角的平面角.(10分)

在Rt△PDB中，∵PD＝DB，

∴∠PBD＝45°，即平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角为45°.(12分)