热门试卷

（1）取的中点，连结，，

，，，

四边形为平行四边形， 从而，

面，面

面          ………………………………………………………………2分

，，

四边形为平行四边形

，且

又是正方形，，且

故为平行四边形，

面，面

面          ………………………………………………………………4分

，面面

面，面          ………………………………………6分

（2）四边形为正方形, ,

， 

由勾股定理可得：， ，

，面 ，

，

由勾股定理可得：，                                    …………………………………8分

故以为原点，以为轴建立坐标系如图，则，

，所以，，，.

设面的法向量为，由

，令，则

设面的法向量为，则

则，令，则         …………………………10分

所以

设二面角的平面角为，

所以        ……………………………………………………12分

（1）直线     曲线C： 

（2）设曲线上任一点为，

它到直线的距离为，其中满足：.

∴当时，.                                   

解法二 ；用直角坐标方程，先求与l平行且与曲线C相切的切线方程，再求平行线间的距离也可（略）

证明：

（1）取中点，连接。∵，中点，

∴。∵是等腰直角三角形，是中点，

∴，∥。∵,,∴

，平面，平面，

∴平面。平面，∴。

∵平面，平面，和相交，

∴平面。 

（2）解法一：

连接，由勾股定理可知。

建立如图所示的空间直角坐标系，设=2，

则点，，，，

设平面的法向量，平面的法向量。

。

所以平面的一个法向量为。

所以平面的一个法向量为           

所以           

解法二：

延长交于，由(1)知平面,

过作，交于,可得平面.

令，可求连接,过作

交于，可得平面,因为所以

过作,交于，连接,可求

所以为所求二面角的平面角，                    

所以所以       

(1) 证明： 且∥，…………2分

则平行且等于，即四边形为平行四边形，所以.

                    …………6分

(2) 『解法1』：

延长、交于点，连结，则平面，易证△与△全等，过作于，连，则，由二面角定义可知，平面角为所求角或其补角.

易求，又，，由面积桥求得，所以

所以所求角为，所以

因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为

『解法2』：

以为原点，方向为轴，以平面内过点且垂直于方向为轴    以方向为轴，建立如图所示空间直角坐标系.

则，，，

       ，，…………8分

所以，，

可求得平面的法向量为

又，，

可求得平面的法向量为

则，

因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为.          …………12分

解：（1）设，如图，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),E(0,0,a),

取BD的中点T，连接CT,AT,则CTBD.

又平面BCD平面ABD,

所以CT平面BCD,

所以CT//AE.

 AB=AD=BC=CD=2, ,

所以CDCB, ,

C(1,1, ),

设平面CDE的法向量为,

则有,    .

AB//平面CDE,

即AE的长为.

（2）连接AC,当时,由(1)可知平面CDE的一个法向量，

又BDAT,BDAE, BD平面ACE,

平面ACE的一个法向量

二面角的大小为.

（1）侧视图同正视图，如下图所示。

（2）该安全标识墩的体积为：

=

（3）如图，连结EG，HF及BD，EG与HF相交于O，连结PO，

由正四棱锥的性质可知，PO⊥平面EFGH，∴PO⊥HF

又EG⊥HF    ∴HF⊥平面PEG

又BD∥HF    ∴BD⊥平面PEG

（1）连接交于点,连接OF,

在矩形中， 为中点， ,    ……… 2 分

, ,   平面.    ……… 4分

（2）由题设易知面，，，

则建立如图所示的空间直角坐标系，

……………… 5分

，

设平面的一个法向量为，

则

取，得平面的一个法向量为， ……8分

平面的一个法向量为，

设二面角为，则

                      ………………… 9分

=.                                   ………………… 10分

（3）过点在面内作垂直于于点，则面，

即的大小为四棱锥-的高，==，

=.                         …………… 12分

（1）取BD的中点P，连结EP、FP，则PF，

又∵EA，∴EAPF，……………………2分

∴四边形AFPE是平行四边形，∴AF∥EP，

又∵面平面，

∴AF∥面BDE.…………………………………………4分

（2）以CA、CD所在直线分别作为x轴，z轴，以过C点和AB平行的直线作为y轴，建立如图所示坐标系.…………………5分

由可得：A（2，0，0，），B（2，2，0），E（2，0，1），D（0，0，2）

则.…………………6分

∵面面，面面，∴面

∴是面的一个法向量.…………………………8分

设面的一个法向量n=（x,y,z）,则n，n.

∴即整理，得令，则

所以n=（1,1,2）是面的一个法向量.……………………………10分

故.

图形可知二面角的平面角，所以其余弦值为.…………12分

（1）证明：因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以BC⊥平面ABEF。

所以BC⊥EF。

因为   ABE为等腰直角三角形，AB=AE，

所以AEB=45°，

又因为AEF=45，

所以FEB=90°，即EF⊥BE。

因为BC平面ABCD，BE平面BCE，

BC∩BE=B

所以EF⊥平面BCE

（2）取BE的中点N，连结CN，MN则

∴PMNC为平行四边形，所以PM∥CN。

∵CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内。

∴PM//平面BCE。

（3）因△ABE等腰直角三角形，AB=AE，所以AE⊥AB

又因为平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以AE⊥平面ABCD，所以AE⊥AD

即AD、AB、AE两两垂直；如图建立空间直解坐标系，

设AB=1，则AE=1，B（0，1，0），D（1，0，0），

从而

设平面BDF的一个法向量为并设

即

取y=1，则x=1  ，z=3，从而

取平面ABCD的一个法向量为

故二面角的大小为