线面角和二面角的求法
共279题

· 线面角和二面角的求法

线面角和二面角的求法
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题型：简答题

简答题 · 12 分

如图所示，矩形中，⊥平面，，为上的点，且⊥平面,交于点，

（1）求证：⊥平面；

（2）求证：∥平面；

（3）求三棱锥的体积。

正确答案

见解析

解析

解析：（1）证明：∵平面，∥，

∴平面，则，

又平面，则

∴⊥平面；

（2）

由题意可得是的中点，连接

平面，则，

而，∴是中点；

在中，∥，∴∥平面.

（3）∥平面，∴∥，

而∴平面，∴平面

是中点，是中点，

∴∥且，

平面，∴，

∴中，，

∴

知识点

线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 10 分

如图,四边形为边长为a的正方形,以D为圆心,DA为半径的圆弧与以BC为直径的圆O交于F,连接CF并延长交AB于点 E.

（1）求证：E为AB的中点；

（2）求线段FB的长.

正确答案

见解析。

解析

（1）由题意知，与圆和圆相切，切点分别为和，

由切割线定理有：所以，即为的中点.…5分

（2）由为圆的直径，易得，

∴，

∴ ∴. ………10分

知识点

线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，四棱锥中，，，，且.

（1）求证：面面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

正确答案

见解析

解析

（1）证明：取中点O，连PO、AO.

由PB=PD=,BD=2可知为等腰直角三角形，

则而PA=，故，

又，则，

故面

（2）如图，按建立坐标系，则，，，设面PAB的法向量为，

由，得：

，

令，则

又，

则

设平面PBC的法向量为，由

，，

令则.

则，.

则.

故平面与平面所成锐二面角的余弦值为-

知识点

直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

在如图所示的空间几何体中，平面平面，与是边长为的等边三角形，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上。

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值。

正确答案

见解析

解析

（1）由题意知，，都是边长为2的等边三角形，取中点，连接，则，

又∵平面⊥平面，∴⊥平面，作⊥平面，

那么，根据题意，点落在上，

∴，易求得，

∴四边形是平行四边形，∴，∴平面

（2）解法一：作，垂足为，连接，

∵⊥平面，∴，又，

∴平面，∴，∴就是二面角的平面角。

中，，，。

∴，即二面角的余弦值为.

解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，可知平面的一个法向量为

设平面的一个法向量为

则，可求得。

所以，

又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角的余弦值为。

知识点

直线与平面平行的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，四边形是圆柱的轴截面，点在圆柱的底面圆周上，是的中点，圆柱的底面圆的半径，侧面积为，。

（1）求证：；

（2）求二面角的平面角的余弦值。

正确答案

见解析。

解析

(解法一)：

（1）由题意可知，

解得， …………分

在中，，

∴ ，

又 ∵是的中点，

∴ .　　　　①

∵ 为圆的直径，

∴ .

由已知知，

∴ ，

∴ .

∴ . ②

∴ 由①②可知：，

∴ . …………分

（2）由（1）知：，

∴，，

∴是二面角的平面角 . …………分

, , .

∴ .

. ………分

(解法二)：

建立如图所示的直角坐标系，

由题意可知.

解得.

则，，，，

∵是的中点，

∴ 可求得. …………2分

（1），，

∴ .

∵ ，

∴ . …………4分

（2）由（1）知,，，

， .

∵，.

∴是平面的法向量. …………8分

设是平面的法向量，

由，，

解得 …………10分

所以二面角的平面角的余弦值. …………12分

知识点

异面直线及其所成的角线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

在三棱锥中，，

（1）证明：⊥；

（2）求二面角A-BC-S的大小；

（3）求直线AB与平面SBC所成角的正弦值。

正确答案

见解析

解析

（1）且平面.

为在平面内的射影.

又⊥, ∴⊥.

（2）由（1）⊥，又⊥，

∴为所求二面角的平面角.

又∵==4,

∴=4 . ∵=2 , ∴=60°.

即二面角大小为60°.

（3）过作于D，连结,

由（2）得平面平面,又平面,

∴平面平面,且平面平面,

∴平面.

∴为在平面内的射影.

在中，，

在中，，.

∴ =.

所以直线与平面所成角的大小为.

解法二：解：（1）由已知，

以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

则 ,. -

则，.

（2），平面.

是平面的法向量.

设侧面的法向量为,

.令则.

则得平面的一个法向量.

即二面角大小为60°.

（3）由（2）可知是平面的一个法向量.

又， .

所以直线与平面所成角为

知识点

线面角和二面角的求法

题型：单选题

单选题 · 5 分

函数的图象如图所示，其中,，，则下列关于函数的说法中正确的是( )

A对称轴方程是

C最小正周期是

D在区间上单调递减

正确答案

解析

第一步识别条件：的图象

第二步转化条件：看着这个图像，就在转化着一些内容这个图中第一告诉我的是振幅A=1 第二告诉我的是周期，T= 第三，我可以利用最高点求出

第三步看问定向：关于函数的说法中正确，根据转化条件A/B/C都是错的，只能选D项了。

第四步结论已出现：验证：D项加一个周期，符合单调递减

知识点

线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，AC∩BD=O，AA1=2，BD⊥A1A，∠BAD=∠A1AC=60°，点M是棱AA1的中点。

（1）求证：A1C∥平面BMD；

（2）求证：A1O⊥平面ABCD；

（3）求直线BM与平面BC1D所成角的正弦值。

正确答案

见解析

解析

（1）证明:

连结

（2）于是

（3）

如图建立直角坐标系，

设平面的法向量为

所以，直线与平面所成角的正弦值为

知识点

直线与平面平行的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，四棱锥P-ABCD中，，，，，是的中点。

（1）求证：；

（2）求二面角的平面角的正弦值。

正确答案

见解析。

解析

（1）证明：底面，

又，，故面面，故…………………………… 4分

又，是的中点，故

从而面，故

易知，

故面……………………………… 6分

（2）如图建立空间直角坐标系，设，则、、、，，从而，，…8分

设为平面的法向量，

则可以取 ……………………9分

又为平面的法向量，若二面角的平面角为

则 ……………………11分

因此。……………………12分

知识点

直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，在四棱锥中，分别为的中点，

（1）求证：平面ABE⊥平面BEF；

（2）设，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角，求的取值范围。

正确答案

见解析

解析

（1），分别为的中点，

为矩形，

,又

面,面,

平面⊥平面

（2） ,又，

又,所以面, ···

建系为轴，为轴，为轴, 则，,

平面法向量，平面法向量 ·

，可得. ··

知识点

平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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