热门试卷

解：（Ⅰ）法1：连接，由知，点为的中点

又∵为圆的直径，∴，

由知，，

∴为等边三角形，从而．

∵点在圆所在平面上的正投影为点，

∴平面，又平面，∴，

由得，平面，

又平面，∴．

法2：∵为圆的直径，∴，

在中设，由，得，，，，

∴，则，

∴，即．

∵点在圆所在平面上的正投影为点，

∴平面，又平面，∴，

由得，平面，

又平面，∴．

法3：∵为圆的直径，∴，

在中由得，，

设，由得，，，

由余弦定理得，，

∴，即．

∵点在圆所在平面上的正投影为点，

∴平面，又平面，∴，

由得，平面，

又平面，∴．

（Ⅱ）法1：（综合法）过点作，垂足为，连接．

由（1）知平面，又平面，

∴，又，

∴平面，又平面，∴，

∴为二面角的平面角．

由（Ⅰ）可知，，

∴，则，

∴在中，，

∴，即二面角的余弦值为．

法2：（坐标法）以为原点，、和的方向分别为轴、轴和轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系．  

设，由，得，，，

∴，，，，

∴，，，

由平面，知平面的一个法向量为．

设平面的一个法向量为，则

，即，令，则，，

∴，

设二面角的平面角的大小为，

则，

∴二面角的余弦值为．

解：（1）由an+12−1＝4an(an+1)，
得（an+1+2an+1）（an+1-2an-1）=0，
数列{an}的各项为正值，an+1+2an+1＞0，
∴an+1=2an+1，
∴an+1+1=2（an+1），
∵a1+1=2≠0，
∴数列{an+1}为等比数列．
∴an+1＝(a1+1)•2n−1＝2n，an＝2n−1，
即为数列{an}的通项公式． 
∵bn=log2（an+1），
∴bn＝log2(2n−1+1)＝n．
（2）求证的的问题即：当k＞7且k∈N*时，对任意

方法一：令，则

方法二：

方法三（利用定积分放缩同样给分。

要作出大致图象并指出小矩形面积之和大于曲边梯形面积）

解：

（Ⅰ）∵在上是单调递增函数，

∴在上恒成立，

∴在上的最小值为18，∴

∴所求的的取值范围为.

（Ⅱ）当时，，且，

，.

∴当，且时，

设，则的定义域为，

.

∴当时，，此时，单调递减；

当时，，此时，单调递增.

∴当且时，.