热门试卷

（1）当时,抛物线方程为,由题意,设、，

则  ，相式相减得： ①，因为M（5，-2）点恰好是AB的中点，显然直线AB与x轴垂直不满足题设条件 , 设直线AB的斜率为k，由于,由①式得,故；所以直线AB的方程是,即

（2）设在抛物线上存在定点，又设，直线AB的方程为L：，它与抛物线相交，由方程  可得，故，，由NA⊥NB，所以，即

=

=，所以，，故直线AB的方程可以写成为：，由于直线AB过点(5,-2).故有 （i），当且仅当,或时,（i）式恒成立。

由此可得：①当时，存在定点N（1，2）；②当p=时，存在定点N（4，2）.③当且、时，不存在这样的定点N。

（1）如图，由题意得，.

，

所求的椭圆方程为。                

（2）由（1）知，（，0），（2，0）

由题意可设：，（，）

，（2，）

  由 整理得.

，

              ，

即为定值。

（3）设，则

若以为直径的圆恒过，的交点，则，

恒成立

由（2）可知，

.

即恒成立

存在使得以为直径的圆恒过直线，的交点。

（1）由， 得           

又（，

则得

所以，当时也满足，                 

（2），所以，使数列是单调递减数列，

则对都成立，

即，

，

当或时，所以，    

（1），

令F′(x)＝0，得，

∴当0＜x＜时，F′(x)＜0，F(x)在(0，)上单调递减；

当x＞时，F′(x)＞0，F(x)在(，＋∞)上单调递增。

∴当x＝时，F(x)有极小值，也是最小值，

即F(x)min＝F()＝e－2eln＝0.

∴F(x)的单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(0，)，最小值为0.（7分）

（2）由（1）知，f(x)与g(x)的图象有且仅有一个公共点(，e)，

∴猜想：一次函数的图象就是f(x)与g(x)的图象在点(，e)处的公切线，

其方程为y＝2x－e.

下面证明：当x＞0时，f(x)≥2x－e，且g(x)≤2x－e恒成立。

∵f(x)－(2x－e)＝(x－)2≥0，∴f(x)≥2x－e对x＞0恒成立。

又令G(x)＝2x－e－g(x)＝2x－e－2eln x，∴G′(x)＝，

∴当0＜x＜时，G′(x)＜0，G(x)在(0，)上单调递减；

当x＞时，G′(x)＞0，G(x)在(，＋∞)上单调递增。

∴当x＝时，G(x)有极小值，也是最小值，

即G(x)min＝G()＝2e－e－2eln ＝0，∴G(x)≥0，即g(x)≤2x－e恒成立。

故存在一次函数y＝2x－e，使得当x＞0时，f(x)≥2x－e，且g(x)≤2x－e恒成立.（14分）

本小题主要考查基本不等式、柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力, 考查化归与转化思想。

（1）由三个数的均值不等式得：

（当且仅当即时取“=”号），故有，……4分

（2），由柯西不等式得：

（当且仅当即时取“=”号）

整理得：，即，………………7分

（1）设函数的周期为，

，所以，

（2）∵，

∴。

∴。