曲线与方程_章节学习

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

9．等腰直角中，，，在轴上，有一个半径为的圆沿轴向滚动，并沿的表面滚过，则圆心的大致轨迹是（虚线为各段弧

所在圆的半径）

A

B

C

D

正确答案

D

考查方向

本题主要考查了动点轨迹的研究，考查学生能否抓住运动变化中的规律。

解题思路

1.水平方向及直角边上运动时，圆心是呈直线运动的

易错点

圆运动到直角顶点A时的圆心所满足条件理解出现偏差

知识点

相关点法求轨迹方程用其它方法求轨迹方程

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．

23.若在线段上，是的中点，证明；

24.若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）由题设，设：，：，则，且，，,，

设AR的斜率为，FQ的斜率为，则

所以

解析

由题设，设：，：，则，且，，,，

设AR的斜率为，FQ的斜率为，则

所以

考查方向

本题主要考查抛物线定义与几何性质、直线与抛物线位置关系和轨迹求法

解题思路

（I）设出与x轴垂直的两条直线，然后得出A,B,P,Q,R的坐标，然后通过证明直线AR与直线FQ的斜率相等即可证明结果了；

易错点

对抛物线定义与几何性质、直线与抛物线位置关系和轨迹求法理解出现错误、计算错误

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅱ）

解析

（Ⅱ）设与轴的交点为，

则.

由题设可得，所以（舍去），.

设满足条件的的中点为.

当与轴不垂直时，由可得.

而，所以.

当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为

考查方向

本题主要考查抛物线定义与几何性质、直线与抛物线位置关系和轨迹求法

解题思路

（II）设直线l与x轴的交点坐标，利用面积可得，设出AB的中点E(x,y),根据AB与x轴是否垂直分两种情况结合求解

易错点

对抛物线定义与几何性质、直线与抛物线位置关系和轨迹求法理解出现错误、计算错误

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

9.已知圆C:x2+y2=16,过点P（2,3）作直线l交圆C于A,B两点,分别过A,B两点作圆C的切线,若两条切线相交于点Q,则点Q的轨迹方程为_______.

正确答案

2x+3y=16

解析

设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(m,n),则直线AQ的方程为x1x+y1y=16,直线BQ的方程为x2x+y2y=16,

因为点Q为两直线的交点,所以所以A,B两点都在直线xm+yn=16上,又点P(2,3)在弦AB上,所以2m+3n=16,故点Q的轨迹方程为2x+3y=16

知识点

直线与圆的位置关系相关点法求轨迹方程

1

题型：填空题

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填空题 · 20 分

请你谈一谈对“不同生产方式以及生产工艺中，生产物流管理所采用的方法和手段是不同的。”这句话的理解。

正确答案

测试

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知三点O(0,0)，A(－2,1)，B(2,1)，曲线C上任意一点M(x，y)满足.

（1）求曲线C的方程；

（2）动点Q(x0，y0)(－2＜x0＜2)在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l，问：是否存在定点P(0，t)(t＜0)，使得l与PA，PB都相交，交点分别为D，E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值；若不存在，说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）由＝(－2－x,1－y)，＝(2－x,1－y)，

得，

＝(x，y)·(0,2)＝2y，

由已知得，

化简得曲线C的方程：x2＝4y.

（2）假设存在点P(0，t)(t＜0)满足条件，

则直线PA的方程是，PB的方程是y＝x＋t.

曲线C在点Q处的切线l的方程是，它与y轴的交点为F(0，)。

由于－2＜x0＜2，因此－1＜＜1.

①当－1＜t＜0时，，存在x0∈(－2,2)，使得，即l与直线PA平行，故当－1＜t＜0时不符合题意。

②当t≤－1时，，，

所以l与直线PA，PB一定相交。

分别联立方程组和

解得D，E的横坐标分别是，，

则xE－xD＝(1－t)，

又|FP|＝－－t，有S△PDE＝·|FP|·|xE－xD|＝，

又，

于是·

＝.

对任意x0∈(－2,2)，要使为常数，即只须t满足

解得t＝－1.此时，

故存在t＝－1，使得△QAB与△PDE的面积之比是常数2.

知识点

导数的几何意义抛物线的标准方程和几何性质直线与抛物线的位置关系直接法求轨迹方程

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线和的方程分别为和，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线和交点的直角坐标为_________.

正确答案

(1,1)

解析

略

知识点

直接法求轨迹方程

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数（）的点的轨迹，给出下列三个结论：

①曲线过坐标原点；

②曲线关于坐标原点对称；

③若点在曲线上，则的面积不大于。

其中，所有正确结论的序号是。

正确答案

②③

解析

显然，如果试图解出轨迹方程，即直接考虑用坐标形式解出，得到的将是一个四次方程，这个题目基本上不用计算，

①若曲线C经过原点，则=1，与条件不符，故①错；

②若曲线C一点满足，则这点关于原点的对称点也一定满足，故曲线C关于原点对称，故②正确；

③若点P在曲线C上，则≤，故③正确.

知识点

直接法求轨迹方程

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

执行下面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是

A120

B720

C1440

D5040

正确答案

B

解析

框图表示，且所求720,选B

知识点

直接法求轨迹方程排列、组合及简单计数问题

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。

（1）设动点P满足,求点P的轨迹；

（2）设，求点T的坐标；

（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。

正确答案

见解析。

解析

（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。

由，得化简得。

故所求点P的轨迹为直线。

（2）将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，）、N（，）

直线MTA方程为：，即，

直线NTB 方程为：，即。

联立方程组，解得：，

所以点T的坐标为。

（3）点T的坐标为

直线MTA方程为：，即，

直线NTB 方程为：，即。

分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，

解得：、。

（方法一）当时，直线MN方程为：

令，解得：。此时必过点D（1，0）；

当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。

所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。

（方法二）若，则由及，得，

此时直线MN的方程为，过点D（1，0）。

若，则，直线MD的斜率，

直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。

因此，直线MN必过轴上的点（1，0）。

知识点

直接法求轨迹方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

20.已知圆的圆心在坐标原点，且恰好与直线相切.

（1）求圆的标准方程；

（2）设点为圆上一动点,轴于，若动点满足,其中为非零常数，试求动点的轨迹方程；

（3）在（2）的结论下，当时，得到动点的轨迹曲线，与垂直的直线与曲线交于两点，求面积的最大值.

正确答案

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

向量在几何中的应用椭圆的定义及标准方程相关点法求轨迹方程圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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