直线、平面垂直的综合应用_章节学习

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题型：填空题

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填空题 · 4 分

14.如图，在中，AB=BC=2，.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 .

正确答案

解析

中，因为，所以.

由余弦定理可得，

所以.

设，则，.

在中，由余弦定理可得

.

故.

在中，，.

由余弦定理可得，

所以.

过作直线的垂线，垂足为，设

则，即，

解得.

而的面积.

设与平面所成角为，则点到平面的距离.

故四面体的体积

.

设，因为，所以.，则.

（2）当时，有，故.

此时，.

由（1）可知，函数在单调递减，故.

综上，四面体的体积的最大值为.

考查方向

立体几何中的变化问题

解题思路

设，将体积写成关于的函数，再求最值

易错点

体积无法写成关于的函数，求函数最大值有困难。

知识点

直线、平面垂直的综合应用

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

5.已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（）

A若，垂直于同一平面，则与平行

B若，平行于同一平面，则与平行

C若，不平行，则在内不存在与平行的直线

D若，不平行，则与不可能垂直于同一平面

正确答案

D

解析

由A选项,，垂直于同一平面，则，可以相交、平行，故A不正确；由B选项，，可以平行、重合、相交、异面，故B选项不正确；由C选项，，不平行，但平面内会存在平行于的直线，如平行于，交线的直线；D选项，其逆否命题为“若与垂直于同一平面，则，平行是真命题，故D项正确，所以选D

考查方向

1.直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用.

解题思路

根据选项逐一进行判断

易错点

平面和直线的位置关系混淆，考虑问题不全面

知识点

平面与平面平行的判定与性质直线、平面垂直的综合应用

1

题型：填空题

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填空题 · 13 分

如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.

（I）求证：EG∥平面ADF；

（II）求二面角O-EF-C的正弦值；

（III）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.

正确答案

依题意，，如图，以为点，分别以的方向为轴，轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得，.

（I）证明：依题意，.设为平面的法向量，则，即 .不妨设，可得，又，可得，又因为直线，所以.

（II）解：易证，为平面的一个法向量.依题意，.设为平面的法向量，则，即 .不妨设，可得.

因此有，于是，所以，二面角的正弦值为.

（III）解：由，得.因为，所以，进而有，从而，因此.所以，直线和平面所成角的正弦值为.

知识点

直线、平面垂直的综合应用

1

题型：填空题

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填空题 · 12 分

（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD.E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.

（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；

（II）若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

正确答案

（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.

延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点.理由如下：

由已知，BC∥ED，且BC=ED.

所以四边形BCDE是平行四边形.

从而CM∥EB.

又EB平面PBE，CM平面PBE，

所以CM∥平面PBE.

（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）

（Ⅱ）方法一：

由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，

所以CD⊥平面PAD.

从而CD⊥PD.

所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.

所以PDA=45°.

设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.

过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.

易知PA⊥平面ABCD，

从而PA⊥CE.

于是CE⊥平面PAH.

所以平面PCE⊥平面PAH.

过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE.

所以APH是PA与平面PCE所成的角.

在Rt△AEH中，AEH=45°，AE=1，

所以AH=.

在Rt△PAH中，PH== ，

所以sinAPH= =.

知识点

直线与平面平行的判定与性质直线、平面垂直的综合应用线面角和二面角的求法

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

7．若是两条不同的直线，垂直于平面，则“ ”是“ 的（）

A充分而不必要条件

B必要而不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

B

解析

若，因为垂直于平面，则或；若，又垂直于平面，则，所以“ ”是“ 的必要不充分条件，故选B．

考查方向

空间直线和平面、直线和直线的位置关系．

解题思路

利用直线与平面平行于垂直的关系，结合充分条件和必要条件性质，判断关系。

易错点

逻辑混乱，直线与平面的位置关系掌握不牢

知识点

充要条件的应用平面与平面平行的判定与性质直线、平面垂直的综合应用

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.

19.证明：平面AEC⊥平面AFC；

20.求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=.

由BE⊥平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC，

又∵AE⊥EC，∴EG=，EG⊥AC，

在Rt△EBG中，可得BE=，故DF=.

在Rt△FDG中，可得FG=.

在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=，

∴，∴EG⊥FG，

∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，

∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC.

解析

见答案

考查方向

空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力

解题思路

（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1易证EG⊥AC，通过计算可证EG⊥FG，根据线面垂直判定定理可知EG⊥平面AFC，由面面垂直判定定理知平面AFC⊥平面AEC；

易错点

本题在证明过程中推理不严密易错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）

解析

（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－，0），E（1,0, ），F（－1,0，），C（0，，0），∴=（1，，），=（-1，-，）.…10分

故.

所以直线AE与CF所成的角的余弦值为.

考查方向

空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力

解题思路

（Ⅱ）以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，利用向量法可求出异面直线AE与CF所成角的余弦值.

易错点

本题在写垂直的过程不能写全条件。

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

如图2，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，，，.点是边的中点，点、分别在线段、上，且，.

21.证明：；

22.求二面角的正切值；

23.求直线与直线所成角的余弦值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）见解析；

解析

（1）证明：∵ 且点为的中点，

∴ ，又平面平面，且平面平面，平面，

∴ 平面，又平面，

∴ ；

考查方向

本题考查空间中，面面垂直、线面垂直的相关知识，以及二面角、异面直线所成角等知识，属于中档题．

解题思路

第一问，利用面面垂直的性质定理，可得，于是可证得线线垂直。第二问以及第三问，先找到所求的角，然后利用相关知识算出角即可，也可以建立适当的空间直角坐标系，利用向量法求出角。

易错点

定理的应用不熟练以及建系求角过程中，计算错误。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

（2）∵ 是矩形，

∴ ，又平面平面，且平面平面，平面，

∴ 平面，又、平面，

∴ ，，

∴ 即为二面角的平面角，

在中，，，，

∴ 即二面角的正切值为；

考查方向

本题考查空间中，面面垂直、线面垂直的相关知识，以及二面角、异面直线所成角等知识，属于中档题．

解题思路

第一问，利用面面垂直的性质定理，可得，于是可证得线线垂直。第二问以及第三问，先找到所求的角，然后利用相关知识算出角即可，也可以建立适当的空间直角坐标系，利用向量法求出角。

易错点

定理的应用不熟练以及建系求角过程中，计算错误。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

。

解析

（3）如下图所示，连接，

∵ ，即，

∴ ，

∴ 为直线与直线所成角或其补角，

在中，，，

由余弦定理可得，

∴ 直线与直线所成角的余弦值为．

考查方向

本题考查空间中，面面垂直、线面垂直的相关知识，以及二面角、异面直线所成角等知识，属于中档题．

解题思路

第一问，利用面面垂直的性质定理，可得，于是可证得线线垂直。第二问以及第三问，先找到所求的角，然后利用相关知识算出角即可，也可以建立适当的空间直角坐标系，利用向量法求出角。

易错点

定理的应用不熟练以及建系求角过程中，计算错误。

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图4，直三棱柱ABC-ABC的底面是边长为2的正三角形，E,F分别是BC,CC的中点.

20.证明：平面AEF⊥平面BBCC;

21.若直线AC与平面AABB所成的角为45，求三棱锥F-AEC的体积。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

如图，因为三棱柱是直三棱柱，

所以，又E是正三角形的边BC的中点，所以因此，而,

所以.

解析

见答案

考查方向

本题主要考察几何体的体积和面面垂直的判断和性质等知识，意在考察考生的空间向量能力和逻辑推理能力。

解题思路

先证明，得到，由面面垂直的判断定理得到.

易错点

不会证明进而由面面垂直的判断定理得到.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

设AB的中点为D，连接，因为是正三角形，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，因此CD平面，于是是直线与平面所成的角,

由题设知，

所以，,

在中，,所以，

故三棱锥F-AEC的体积.

考查方向

本题主要考察几何体的体积和面面垂直的判断和性质等知识，意在考察考生的空间向量能力和逻辑推理能力。

解题思路

设AB的中点为D，证明是直线与平面所成的角,

由题设知，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积。.

易错点

找不到直线与平面所成的角；

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图4，直三棱柱ABC-ABC的底面是边长为2的正三角形，E,F分别是BC,CC的中点.

20.证明：平面AEF⊥平面BBCC;

21.若直线AC与平面AABB所成的角为45，求三棱锥F-AEC的体积。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

如图，因为三棱柱是直三棱柱，

所以，又E是正三角形的边BC的中点，所以因此，而,

所以.

解析

见答案

考查方向

本题主要考察几何体的体积和面面垂直的判断和性质等知识，意在考察考生的空间向量能力和逻辑推理能力。

解题思路

先证明，得到，由面面垂直的判断定理得到.

易错点

不会证明进而由面面垂直的判断定理得到.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

设AB的中点为D，连接，因为是正三角形，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，因此CD平面，于是是直线与平面所成的角,

由题设知，

所以，,

在中，,所以，

故三棱锥F-AEC的体积.

考查方向

本题主要考察几何体的体积和面面垂直的判断和性质等知识，意在考察考生的空间向量能力和逻辑推理能力。

解题思路

设AB的中点为D，证明是直线与平面所成的角,

由题设知，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积。.

易错点

找不到直线与平面所成的角；

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

7.由棱锥和棱柱组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A14

B

C22

D

正确答案

A

解析

由三视图可以看出该几何体是由三棱柱和三棱锥组成。所以几何体的体积为，

考查方向

本题考查了三视图的相关性质，和体积公式。

解题思路

有三视图画出直观图根据直观图表示的几何体求体积。

易错点

在观察时候将底面的高看错。

知识点

直线、平面垂直的综合应用

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