热门试卷

（Ⅰ）∵（+）（x+y）=a2+++b2=a2+b2+（+）

≥a2+b2+2=a2+b2+ab=（a+b）2，当且仅当ay=bx时取等号．

（II）∵f（x）=+=+=（+）（3x2+1-3x2）

由（I）知，上式≥（3+3）2=36，当且仅当3x2=1-3x2即x2=时等号成立，

∴函数f（x）=+（0＜x＜）的最小值36，取最小值时x的值为．

（I）|x-m|≤3⇔-3≤x-m≤3⇔m-3≤x≤m+3，由题意得解得m=2；…（4分）

（II）∵根据柯西不等式，有（a2+b2+c2）（12+12+2）≥（a+b+c）2，

∴-2≤a+b+c≤2，

∴当a=b=时，a+b+c的最大值为2．…（8分）

又∵f（x）=|x-2|，

∴f（2x-1）+f(2x+1)＞a+b+c恒成立等价于|2x-3|+|2x-1|＞2=|2x-3-（2x-1）|，

从而2x-3与2x-1同号，即（2x-3）（2x-1）＞0，

∴x的取值范围是x＞或x＜．…（12分）

详见解析

试题分析：由柯西不等式得

试题解析：因为

，      8分

当且仅当，即时，取等，

所以．                                 10分

（1）设M=，则由题知=，=

所以，解得，所以M=．

设点P（x，y）是直线l上任一点，在M变换下对应的点为P′（x0，y0），

那么=即．

因为2x0-y0-1=0，∴2（-x-4y）-（3x+5y）-1=0 即5x+13y+1=0，

因此直线l的方程是5x+13y+1=0．

（2）由已知，直线的参数方程为t为参数），

曲线s为参数）可以化为x2-y2=4．

将直线的参数方程代入上式，得t2-6t+10=0．

设A，B对应的参数分别为t1，t2，∴t1+t2=，t1t2=10．

∴AB=|t1-t2|==2．

（3）由柯西不等式9=（12+22+22）•（x2+y2+z2）≥（1•x+2•y+2•z）2

即x+2y+2z≤3，当且仅当

即x=，y=，z=时，x+2y+2z取得最大值3．

∵不等式|a-1|≥x+2y+2z，对满足x2+y2+z2=1的一切实数x，y，z恒成立，

只需|a-1|≥3，解得a-1≥3或a-1≤-3，∴a≥4或∴a≤-2．

即实数的取值范围是（-∞，-2]∪[4，+∞）．

因为已知a、b、c是实数，且a2+b2+c2=1根据柯西不等式（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2

故有（a2+b2+c2）（22+1+22）≥（2a+b+2c）2

故（2a+b+2c）2≤9，即2a+b+2c≤3

即2a+b+2c的最大值为3．

由柯西不等式（a1+a2+a2+a3+a3+a4+…+an+a1）×(++…+)

≥（a1+a2+…+an）2=1．

即2(++…+)≥（a1+a2+…+an）2=1．

(++…+)≥，

令a1=a2=…=a1=，得a12+a22+…+an2≥． （n≥2，n∈N）．

（Ⅰ）证明：由柯西不等式得[a2+(

1

2

b)2+(

c

3

)2]•[12+22+32]≥（a+b+c）2，…2分

即 (a2+b2+c2)×14≥（a+b+c）2，∴a2+b2+c2≥．…4分

（Ⅱ）由已知得a+b+c=2m-2，a2+b2+c2=1-m，∴14（1-m）≥（2m-2）2，

∴2m2+3m-5≤0，∴-≤m≤1．…6分

又 a2+b2+c2=1-m≥0，∴m≤1．

综上可得，-≤m≤1，即实数m的取值范围为[-，1]．…7分

（1）依题意得，即

所以解得∴A=

（2）由ρsin（θ-）=ρ（sinθ-cosθ）=6，∴y-x=12

将圆的参数方程化为普通方程为x2+y2=10圆心为C（0，0），半径为10．

∴点C到直线的距离为d==6，

直线l被圆截得的弦长为2=16

（3）由柯西不等式得，有(2b2+3c2+6d2)(++)≥(b+c+d)2

即2b2+3c2+6d2≥（b+c+d）2，由条件可得，5-a2≥（3-a）2

解得，1≤a≤2，代入b=1，c=，d=时，amax=2；b=1，c=，d=时，amin=1

（1）∵

（∵a+b=1）．

（2）由柯西不等式得，有(2b2+3c2+6d2)(++)≥(b+c+d)2；

即2b2+3c2+6d2≥（b+c+d）2

由条件可得，5-a2≥（3-a）2；

解得，1≤a≤2当且仅当==时等号成立，

代入b=1，c=，d=时，

amax=2b=1，c=，d=时amin=1．

由柯西不等式，得[x+（-2）y+（-3）z]2≤[12+（-2）2+（-3）2]（x2+y2+z2），

即（x-2y-3z）2≤14（x2+y2+z2），…（5分）

即16≤14（x2+y2+z2）．

所以x2+y2+z2≥，即x2+y2+z2的最小值为．…（10分）

（1）设矩阵 A=，这里a，b，c，d∈R，

则 A==3 ，故

=，故

联立以上两方程组解得a=1，b=2，c=2，d=1，故M=．

（2）由已知得直线l的参数方程为 （t为参数），

即 （t为参数）．（3分）

曲线的普通方程为（x-2）2+（y-1）2=25．（6分）

把直线的参数方程代入曲线的普通方程，得

t2+（ +3）t-15=0，

∴t1t2=15，（8分）

∴点P到A，B两点的距离之积为15．（10分）

（3）由柯西不等式，（a+b+c+d）2≤（12+12+12+12）（a2+b2+c2+d2）

所以得：4（16-e）2≥（8-e）2．

解得：0≤e≤

不姐仅当a=b=c=d=时，e取最大值．

证明：（1）由柯西不等式得：（sin2α+sin2β+sin2γ）（1+1+1）≥（1•sinα+1•sinβ+1•sinγ）2，

因为sinα+sinβ+sinγ=1，所以3（sin2α+sin2β+sin2γ）≥1，得：sin2α+sin2β+sin2γ≥．

（2）由恒等式tan2x=-1和若a，b，c＞0，则++≥，

得tan2α+tan2β+tan2 γ=++-3≥-3．

于是=≥=，

由此得tan2α+tan2β+tan2 γ≥-3=．