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（1）证明过程详见解析（2）；（3）点E到直线D1C距离的最大值为，此时点E在A点处.

试题分析：本题主要以正方体为几何背景考查线线垂直、线面角、点到直线的距离、向量法等基础知识，考查学生的空间想象能力、转化能力、计算能力.第一问，根据已知条件中的垂直关系，建立空间直角坐标系，要证明DA1⊥ED1，只需证明即可，建立空间直角坐标系后，写出有关点的坐标，得到向量和的坐标，利用向量的数量积的计算公式进行计算；第二问，先利用求平面法向量的计算公式，求出平面的法向量，由已知直线与平面成角为，利用夹角公式得到方程，解出m，即的值；第三问，由图形得到结论.

试题解析：解：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系，

则D(0,0,0),A（1，0，0），B(1,1,0)，C(0,1,0),D1(0,1,2),A1(1,0,1)，设E(1,m,0)（0≤m≤1）

（1）证明：，

所以DA1⊥ED1.                              4分

（2）设平面CED1的一个法向量为,则

，而，

所以取z=1,得y=1,x=1-m，得.

因为直线DA1与平面CED1成角为45o，所以

所以，所以，解得m=.  11分

（3）点E到直线D1C距离的最大值为，此时点E在A点处.   14分

（1）详见解析，（2）

试题分析：（1）要证明平面，需证明及，前面在平面中证明，利用勾股定理，即通过计算设，则.∴，∴.后者通过线面垂直与线线垂直的转化得，即由面面，得面，再得。（2）求二面角的余弦值，可通过作、证、算，本题可过作,则为所求二面角的平面角.也可利用空间向量求，先建系，求出平面及平面的法向量，利用向量数量积求出两法向量的夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得出结论.

试题解析：（1）连结，∵是等腰直角三角形斜边的中点，∴.

又三棱柱为直三棱柱，

∴面面，

∴面，.     2分

设，则.

∴，∴.           4分

又，∴ 平面.          6分

（2）以为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系如图，设，

则，

，.          8分

由（1）知，平面，

∴可取平面的法向量.

设平面的法向量为，

由

∴可取.          10分

设锐二面角的大小为，

则.

∴所求锐二面角的余弦值为.          12分

(1)见解析   (2)

(1)∵SD⊥平面ABCD,SD⊂平面SAD,

∴平面SAD⊥平面ABCD;

又∵AB⊥AD,∴AB⊥平面SAD,∴DE⊥AB,

∵SD=AD,E是SA的中点,∴DE⊥SA.

∵AB∩SA=A,∴DE⊥平面SAB.

又DE⊂平面BED,

∴平面BED⊥平面SAB.

(2)以D为原点,以DA,DC,DS分别为坐标轴建立空间直角坐标系Dzyz,不妨设AD=2,

则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,,0),

C(0,,0),S(0,0,2),E(1,0,1).

=(2,,0),=(1,0,1),

设m=(x1,y1,z1)是平面BED的一个法向量,

则 

即

因此可取m=(-1,,1).

又=(2,0,-2),

设直线SA与平面BED所成的角为θ,

则sinθ==⇒θ=,

即直线SA与平面BED所成的角为.

（1）见解析（2）

(1)G，H分别为CE，CF的中点，

所以EF∥GH，

连接AC与BD交于O，因为四边形ABCD是菱形，所以O是AC的中点，

连接OG，OG是三角形ACE的中位线，OG∥AE，

又EF∩AE＝E，GH∩OG＝G，则平面AEF∥平面BDGH，

(2)因为BF⊥BD，平面BDEF⊥平面ABCD，

所以BF⊥平面ABCD，

取EF的中点N，连接ON，则ON∥BF，∴ON⊥平面ABCD，

建立空间直角坐标系如图所示，设AB＝2，BF＝t，

则B(1,0,0)，C(0，，0)，F(1,0，t)，

H，＝(1,0,0)，＝，

设平面BDGH的法向量为n1＝(x，y，z)，

取n1＝(0，－t，)，

平面ABCD的法向量n2＝(0,0,1)，

|cos〈n1，n2〉|＝＝，所以t2＝9，t＝3.

所以＝(1，－，3)，设直线CF与平面BDGH所成的角为θ，

sin θ＝|cos〈，n1〉|＝＝.

（1）见解析；（2）见解析；（3）

试题分析：（1）利用已有平行关系，可得到

 得到而得证.

(2)通过证明 以点为坐标原点，，建立空间直角坐标系，根据计算它们的数量积为零，得证.

(3)由已知可得是平面的一个法向量.

确定平面的一个法向量为

利用得解.

（1）证明：，

.

             2分

    4分

(2)证明：,

  6分

以点为坐标原点，，建立空间直角坐标系如图所示，由已知得

                                 8分

(3)由已知可得是平面的一个法向量.

设平面的一个法向量为，

，

     10分

设二面角的大小为，

则    11分

         12分

（1）证明见解析；（2）．

试题分析：

解题思路：（1）利用线面垂直的性质推得线线垂直：（2）建立空间坐标系，利用二面角A­PB­D的余弦值为，求出PD;进而利用空间向量求线面角的正弦值.

规律总结：对于空间几何体中的垂直、平行关系的判定，要牢牢记住并灵活进行转化，线线关系是关键；涉及夹角、距离问题以及开放性问题，要注意利用空间直角坐标系进行求解.

试题解析：(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴PD⊥AC，

∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，

又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PBD，

∵DE⊂平面PBD，∴AC⊥DE.

(2)在△PDB中，EO∥PD，∴EO⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设PD＝t，则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1,0,0)，，P(0，－，t)，＝(－1，，0)，＝(－1，－，t)．

由(1)知，平面PBD的一个法向量为n1＝(1,0,0)，设平面PAB的法向量为n2＝(x，y，z)，则根据,

得，令y＝1，得平面PAB的一个法向量为

∵二面角A­PB­D的余弦值为，

则|cos〈n1，n2〉|＝，即

＝，解得t＝2或t＝－2 (舍去)，

∴P(0，－，2)．

设EC与平面PAB所成的角为θ，

∵＝(－1,0，－)，n2＝(，1,1)，

则sin θ＝|cos〈，n2〉|＝，

∴EC与平面PAB所成角的正弦值为.

（1）证明过程详见解析；（2）

试题分析：本题主要考查线面位置关系的证明、二面角等基础知识，同时考查空间想象能力和计算能力.第一问，法一：利用E、F为PC、OC中点，得，由于平面，所以，利用面面垂直的判定得平面平面，因为PO为等腰三角形底边上的高，所以，由于AD是面ABCD与面PAD的交线，所以平面，又因为，所以平面，所以EF垂直面内的线AB，在中根据已知的边长可知，所以利用线面垂直的判定得平面，从而得；第二问，作出辅助线HE，AE，利用线面垂直平面ABCD，先得到面面垂直平面平面，得平面POC，所以AH垂直面内的线PC，在等腰三角形APC中，，利用线面垂直得平面AHE，则，得出为二面角的平面角，在三角形内解出的正弦值，再求；法二：第一问，要证明，只需证明，根据已知条件找出垂直关系，建立空间直角坐标系，根据边长写出各个点坐标，计算出向量和的坐标，再计算数量积；第二问，利用第一问建立的空间直角坐标系，先计算出平面PAC和平面POC的法向量，利用夹角公式直接求夹角的余弦值.

试题解析：解法一：（1）设，连接,

分别是、的中点，则，…1分

已知平面，平面，所以平面平面，

又，为的中点，则，

而平面平面，

所以平面，

所以平面，

又平面，所以；     3分

在中，，；

又，所以平面，

又平面，所以.           6分

（2）在平面内过点作交的延长线于，连接，，

因为平面，所以平面平面，

平面平面，所以平面，

平面，所以；

在中，，是中点，故；

所以平面，则．

所以是二面角的平面角．  10分

设，

而，

，则，

所以二面角的余弦值为．                          12分

解法二：

因为平面，平面，所以平面平面，

又，是的中点，则，且平面平面，

所以平面．                2分

如图，以O为原点，以分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.

 4分

，，所以．  6分

（2），，

设平面的法向量为，

则

令，得．     8分

又，，

所以平面的法向量，              10分

，

所以二面角的余弦值为．              12分

（1）见解析；（2）.

试题分析：（1）连接交于点，得知为的中点，连接

根据点为中点，利用三角形中位线定理，得出，进一步得到

面.

（2）首先探究几何体中的线面、线线垂直关系，创造建立空间直角坐标系的条件，应用“向量法”，确定二面角的余弦值.

解答本题的关键是确定“垂直关系”，这也是难点所在，平时学习中，应特别注意转化意识的培养，能从“非规范几何体”，探索得到建立空间直角坐标系的条件.

试题解析：（1）连接交于点，则为的中点，连接

因为点为中点，所以为的中位线，

所以                                2分

面，面，

所以面       4分

（2）取中点，的中点，连接，则，

所以共面

作于，于，则且

，

和全等，

和全等，

，为中点，

又，，面

，面                      6分

以为原点，为轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，设，则，

，

设面的法向量

，

由，令

                               8分

设面的法向量

，

由，令

                             10分

设二面角的平面角为，

则              12分

（1）证明详见解析；（2）直线与平面所成角的正弦值为.

试题分析：（1）要证⊥平面，只须证明与平面内的两条相交直线垂直即可，对于的证明，只需要根据题中面面垂直的性质及线面垂直的性质即可得出，对于的证明，这需要在平面的直角梯形中根据及得出，进而可得出，问题得以证明；（2）分别以、、所在的直线为、、轴建立空间直角坐标系，进而写出有效点的坐标，设平面的法向量，由确定该法向量的一个坐标，进而根据线面角的向量计算公式即可得出直线与平面所成角的正弦值.

（1）证明：由已知条件可知：在中，，所以

在中，，所以

所以……①

又因平面⊥平面，面……②

由①②及可得⊥平面

（2）如图分别以、、所在的直线为、、轴建立空间直角坐标系

则，,,

所以，

设平面的法向量，则有：

即，取，则

设直线直线与平面所成角为，有

所以直线与平面所成角的正弦值为.