热门试卷

(1) 详见解析 (2)

试题分析:(1)要证明线面垂直,只需要在面内找到两条相交的线段与之垂直即可,即证明与垂直,首先利用四棱柱所有棱相等,得到上下底面为菱形,进而得到均为中点,得到三者相互平行,四边形均为矩形与平行相结合即可得到与垂直,进而证明线面垂直.

(2)要求二面角,此问可以以以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立三维直角坐标系,利用空间向量的方法得到二面角的余弦值,在此说明第一种方法,做出二面角的平面角, 过作的垂线交于点,连接.利用(1)得到,在利用四边形为菱形,对角线相互垂直,两个垂直关系即可得到垂直于平面,进而得到,结合得到线面垂直,说明角即为哦所求二面角的平面角,设四棱柱各边长为,利用勾股定理求出相应边长即可得到角的余弦值,进而得到二面角的余弦值.

(1)证明:四棱柱的所有棱长都相等

四边形和四边形均为菱形

分别为中点

四边形和四边形为矩形

且

又且底面

底面.

(2)法1::过作的垂线交于点,连接.不妨设四棱柱的边长为.

底面且底面面

面

又面

四边形为菱形

又且,面

面

又面

又且,面

面

为二面角的平面角,则

且四边形为菱形

,,

则

再由的勾股定理可得,

则,所以二面角的余弦值为.

法2:因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形是菱形,因此,又面,从而两两垂直,如图以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立三维直角坐标系,不妨设,因为,所以,,于是各点的坐标为:,已知是平面的一个法向量,设是平面的一个法向量,则,,取,则,

所以,,故二面角的余弦值为.

：解法一：(Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面．因为，所以，

又，故为等腰直角三角形，，由三垂线定理，得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题设，

故，由，，，得

，．

的面积．

连结，得的面积

设到平面的距离为，由于，得，解得．

设与平面所成角为，则．

所以，直线与平面所成的我为．

解法二：

（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．因为，所以．又，为等腰直角三角形，．如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，

，，，，，

，，所以．

（Ⅱ）取中点，，连结，取中点，连结，．，，．

，，与平面内两条相交直线，垂直．

所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余．

，．，，

所以，直线与平面所成的角为

略

(1)解：V=

==48米3

答：正四棱锥的体积

为48米3

(2)过点S做SEBC于点E，连结OE，则SE是斜高

在直角三角形SOE中，SE=

=米2

=+=60+=96米2

答：正四棱锥的表面积为96米2

略

（1）；（2）详见解析；（3）二面角的余弦值为.

试题分析：（1）求的值，关键是找在的位置，注意到平面，有线面平行的性质，可得，由已知为中点，由平面几何知识可得为中点，从而可得的值；（2）求证：，有图观察，用传统方法比较麻烦，而本题由于底面，所以，，又，这样建立空间坐标比较简单，故以为原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，取，可写出个点坐标，从而得向量的坐标，证即可；（3）求二面角的余弦值，由题意可得向量是平面的一个法向量，只需求出平面的一个法向量，可设平面的法向量，利用，即可求出平面的一个法向量，利用向量的夹角公式即可求出二面角的余弦值．

（1）因为平面

又平面，平面平面，

所以.                          3分

因为为中点，且侧面为平行四边形

所以为中点，所以.                4分

（2）因为底面，

所以，，                                      5分

又，

如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，则由可得                  6分

因为分别是的中点，

所以.                                      7分

.                    8分

所以，

所以.                                         9分

（3）设平面的法向量，则

即                10分

令，则，所以.                11分

由已知可得平面的法向量                    11分

所以                    13分

由题意知二面角为钝角，

所以二面角的余弦值为.                    14分

（1）；（2）详见解析

试题分析：（1）有两种思路，其一是利用几何体中的垂直关系，以B为坐标原点，所在的直线分别为，轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用平面与平面的法向量的夹角求二面角的大小.其二是按照作出二面角的平面角，并在三角形中求出该角的方法，利用平面平面，在平面内过点作，垂足是,过作，垂足为，连结,得二面角的平面角，最后在直角三角形中求；

（2）在空间直角坐标系中，设，求出平面的法向量，和平面的法向量

再由确定点的坐标，进而求线段的长度.

方法一（向量法）：如图建立空间直角坐标系                    1分

（1）

设平面的法向量为，平面的法向量为

则有    3分

    5分

设二面角为，则 

∴二面角的大小为60°。    6分

（2）设,   ∵

∴，设平面的法向量为

则有              10分

由（1）可知平面的法向量为，

平面平面

即此时,                  12分

方法二：（1）取中点，连接

又平面,

平面 ，过作于，连接

平面 为二面角的平面角      3分

又

∴,  ∴

（2）同解法一.

(1)详见解析， (2) 到,的距离为.

试题分析：(1) 证明线面平行，关键在于找出线线线平行.本题中点较多，易从中位线上找平行.取线段

中点，连接则所以为平行四边形，因此运用线面平行判定定理时，需写

全定理所需所有条件.(2) 在内找一点，利用空间向量解决较易. 利用平面平面,建立空间直角坐标系O,点M的坐标可设为.利用平面，可解出，但需验证点M满足的内部区域，再由点M的坐标得点到,的距离为.

试题解析：证明:(1)如图,连结OP,以O为坐标原点,分别以OB、OC、OP所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系O, 则,由题意得,因,因此平面BOE的法向量,得,又直线不在平面内,因此有平面       6分

(2)设点M的坐标为,则,因为平面BOE,所以有,因此有,即点M的坐标为,在平面直角坐标系中,的内部区域满足不等式组,经检验,点M的坐标满足上述不等式组,所以在内存在一点,使平面,由点M的坐标得点到,的距离为.       12分