空间向量及其运算
共1844题

空间向量及其运算
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题型：填空题

填空题

空间向量=（2，-1，0），=（1，0，-1），=（1，y，z），若⊥，⊥，则y+z=______．

正确答案

∵⊥，⊥，∴，即，解得，∴y+z=3．

故答案为3．

题型：简答题

简答题

设向量=(3，5，-4)，=(2，1，8)，计算•以及与所成角的余弦值，并确定λ和μ的关系，使λ+μ与z轴垂直．

正确答案

∵=(3，5，-4)，=(2，1，8)，

∴•=3×2+5×1+（-4）×8=-21．

∴cos＜，＞===-．

∵λ+μ=（3λ+2μ，5λ+μ，-4λ+8μ），

∴λ+μ与z轴垂直时，-4λ+8μ=0，解得λ=2μ．

题型：简答题

简答题

设向量=（3，5，-4），=（2，1，8），计算3-2，、，并确定λ，μ的关系，使λ+μ与z轴垂直．

正确答案

∵向量=（3，5，-4），=（2，1，8），∴3-2=3（3，5，-4）-2（2，1，8）=（9，15，-12）-（4，2，16）=（5，13，20）；

•=3×2+5×1+（-4）×8=-21；

∵λ+μ=（3λ，5λ，-4λ）+（2μ，μ，8μ）=（3λ+2μ，5λ+μ，-4λ+8μ），且λ+μ与z轴垂直，

∴(λ+μ)•(0，0，1)=0，

∴-4λ+8μ=1．

题型：填空题

填空题

若=(0，1，-1)，=(1，1，0)且(+λ)⊥，则实数λ的值是______．

正确答案

∵=(0，1，-1)，=(1，1，0)，

∴+λ=（λ，1+λ，-1），

又∵(+λ)⊥，

∴（+λ）•=0．

∴（λ，1+λ，-1）•（0，1，-1）=0．

即1+λ+1=0．

∴λ=-2．

故答案为：-2．

题型：填空题

填空题

已知向量=（m，5，-1），=（3，1，r），若∥则实数m=______，r=______．

正确答案

向量=（m，5，-1），=（3，1，r），

若∥，则==

解得m=15，r=-

故答案为：15，-．

题型：填空题

填空题

已知向量a=（-2，x，5）与b=（-8，-2，0）互相垂直，则x=______．

正确答案

∵向量=（-2，x，5）与=（-8，-2，0）互相垂直，

∴•=16-2x+0=0，

解得x=8．

故答案为：8．

题型：简答题

简答题

已知向量=（1，-3，2），=（-2，1，1），点A（-3，-1，4），B（-2，-2，2）．

（1）求：|2+|；

（2）在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥？（O为原点）

正确答案

（1）2+=（2，-6，4）+（-2，1，1）=（0，-5，5），

∴|2+|==5；

（2）假设存在点E（x，y，z）满足条件，

则∥，且得•=0，

又=（x+3，y+1，z-4），=（1，-1，-2），

∴，解得，

∴在直线AB上，存在一点E（-3，-1，4），使得⊥

题型：简答题

简答题

在直角坐标系xOy中，已知点P（2cosx+1，2cos2x+2）和点Q（cosx，-1），其中x∈[0，π]．若向量与垂直，求x的值．

正确答案

由题意可知=（2cosx+1，2cos2x+2），=（cosx，-1），

由⊥，得•=0，即cosx（2cosx+1）-（2cos2x+2）=0，即得2cos2x-cosx=0，

于是cosx=0或cosx=，

∵x∈[0，π]，∴x=或．

题型：填空题

填空题

已知点A，B，C的坐标分别为（2，-1，2），（4，5，-1），（4，2，3），若存在点G（0，b，c），使得∥，则实数b=______，c=______．

正确答案

∵=（2，6，-3），=（-4，b-2，c-3），∥，

∴存在实数λ，使得=λ，

∴（-4，b-2，c-3）=λ（2，6，-3）=（2λ，6λ，-3λ），

可得，解得．

故答案分别为-10，9．

题型：填空题

填空题

已知=(1，2，3)，=(2，x，4)，如果⊥，则x=______．

正确答案

∵⊥，∴•=0，即1×2+2x+3×4=0，解得x=-7．

故答案为-7．

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