热门试卷

由于空间向量 =（2，-y，2），=（4，2，x），

则=（2，-y，2），=（4，2，x），|a→|2=y2+8，||2=x2+20，所以||2+||2=x2+y2+28=44⇒x2+y2=16

又由⊥得•=x-y+4=0，联立两方程得到

解得：或．

（1）证明以为x轴，为y轴，A为z轴，建立空间直角坐标系，

设E为BD的中点，

∵P﹣ABCD是正四棱锥，

∴PE⊥平面ABCD，

∵，

∴PE=2，

∴P（1，1，4），

∴，，

∴，

故PA⊥．

（2）解：设平面PAD的法向量，

∵，，

∴，

∴．

∵平面BD的法向量，

∴cos＜＞==﹣，

∴=．

（3）解：∵，

∴到平面PAD的距离d==．

解：2a+3b=2（3，5，-4）+3（2，1，8）

=（12，13，16）

3a-2b=3（3，5，-4）-2（2，1，8）=（5，13，-28）

a·b=（3，5，-4）·（2，1，8）=3×2+5×1-4×8=-21

=-4λ+8μ=0.

故只要λ、μ满足-4 λ+8 μ=0 即可使λa+ μb 与z轴垂直．

解：（1）设BD=x，则CD=3-x

∵∠ACB=45°，AD⊥BC，

∴AD=CD=3-x

∵折起前AD⊥BC，

∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D

∴AD⊥平面BCD

∴VA-BCD= ×AD×S△BCD= ×（3-x）× ×x（3-x）= （x3-6x2+9x）

设f（x）= （x3-6x2+9x）  x∈（0，3），

∵f′（x）= （x-1）（x-3），

∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，3）上为减函数

∴当x=1时，函数f（x）取最大值

∴当BD=1时，三棱锥A-BCD的体积最大。

（2）以D为原点，建立如图直角坐标系D-xyz，

由（1）知，三棱锥A-BCD的体积最大时，BD=1，AD=CD=2

∴D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1），E（，1，0），

且=（-1，1，1）设N（0，λ，0），

则=（-，λ-1，0）

∵EN⊥BM，

∴·=0

即（-1，1，1）（-，λ-1，0）=+λ-1=0，

∴λ=，

∴N（0，，0）

∴当DN=时，EN⊥BM

设平面BMN的一个法向量为=（x，y，z），

由及=（-1，，0）得，

取=（1，2，-1）

设EN与平面BMN所成角为θ，

则=（-，，0）

sinθ=|cos＜，＞|=||==

∴θ=60°

∴EN与平面BMN所成角的大小为60°

。

解：取BC的中点O，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得

（1）设，则，得，

∵FD⊥AC1．

∴

即

解得λ=1，即．

（2）设平面FAC1的一个法向量为n1=（x1，y1，1）

∵=（1，1，），

由得，

又由，得，

∴

∴=（，，1）

仿上可得平面ACC1的一个法向量为．

∵=﹣×+0+1×1=0

∴⊥．故二面角F﹣AC1﹣C的大小为90°．

（3）设平面AFC的一个法向量为，

由得x+y﹣=0

又=（﹣1，0，﹣），

由得．

解得，

∴=（﹣，2，1）

所以C1到平面AFC的距离为=．

解：以O为原点，以AD方向为Y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间坐标系，则O（0，0，0），A（0，﹣3，0），B（4，2，0），C（﹣4，2，0），P（0，0，4）

（I）则 =（0，3，4）， =（﹣8，0，0）

由此可得 · =0

∴ ⊥  即AP⊥BC

（II）设 =λ ，λ≠1，

则 =λ（0，﹣3，﹣4）  = + = +λ =（﹣4，﹣2，4）+λ（0，﹣3，﹣4）  =（﹣4，5，0）， =（﹣8，0，0）

设平面BMC的法向量 =（a，b，c）

则   

令b=1，则 =（0，1， ）

平面APC的法向量 =（x，y，z）则  即 

令x=5 则 =（5，4，﹣3）

由 =0 得4﹣3 =0

解得λ=  故AM=3

综上所述，存在点M符合题意，此时AM=3

解：（1）由题意可得

，

∴

∴

所以以，为边的平行四边形的面积

。

（2）设a=（x，y，z）

由题意得

解得或

∴a=（1，1，1），或a=（-1，-1，-1）。

解：设BD与AC交于O，则BD⊥AC，连结A1O，

在△AA1O中，AA1=2，AO=1，∠A1AO=60°，

所以A1O2=AA12+AO2-2AA1·AOcos60°=3，

所以AO2+A1O2=AA12，所以A1O⊥AO。

由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，

所以A1O⊥平面ABCD。

以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，则

，

 （Ⅰ）由于，

，

∴；

（Ⅱ）由于OB⊥平面，

∴平面的一个法向量为，

设，则，

设，则，

取，

∴，

所以，二面角D-A1A-C的平面角的余弦值为。

（Ⅲ）假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1，

设，P（x，y，z），

则，

从而有，

设，则，

又，

设，则，取，

因为BP∥平面DA1C1，则，即，

得，即点P在C1C的延长线上，且。

解：（I）以A为原点，以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

设AB=1，则PA=AD=2，

又设|AE|=y，则：=（1，2，﹣2），

由=0，可得﹣1+2y=0，∴，

又∵，∴，∴λ=

（II）由（I）知面PAC的法向量为

又因为

设PB与面PAC所成的角为α，

则：

∵∴PB所求PB与面PAC所成的角的大小为：