- 空间向量及其运算
- 共1844题
如图所示，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1 的底面ABCD 是菱形，且∠C1CB= ∠C1CD= ∠BCD=60 °． 求证：CC1 ⊥BD.
正确答案
证明：设
即C1C⊥BD.
向量
正确答案
∵
∴l与α不垂直．
故答案为否．
已知空间三点O（0，0，0），A（-1，1，0），B（0，1，1），若直线OA上的一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为______．
正确答案
设H点的坐标为（x，y，z）
则∵O（0，0，0），A（-1，1，0），B（0，1，1），
∴
∵点H在直线OA上，则
存在λ∈[0，1]，使
即（x，y，z）=λ（-1，1，0）=（-λ，λ，0）
∴
即λ+λ-1=0，解得λ=
∴点H的坐标为（-
故答案为：（-
已知空间三个向量
正确答案
∵
∴
解得x=-64，y=-26．
故答案为：-64，-26．
如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，P为A1C1的中点，AB=BC=kPA．
（I）当k=1时，求证PA⊥B1C；
（II）当k为何值时，直线PA与平面BB1C1C所成的角的正弦值为
正确答案
解：以点B为坐标原点，分别以直线BA、BC、BB1为x轴、y轴建立空间直角坐标系Oxyz．（I）设AB=2，则AB=BC=PA=2
根据题意得：
所以 
∵
（II）设AB=2，则 
根据题意：A（2，0，0），C（0，2，0），
又因为
所以 
∴
∴
∵AB⊥平面B1C，
所以由题意得
∵k＞0，解得k=
即 
∵B1P⊥面APC，∴平面APC的法向量
设平面BPC的一个法向量为
∵
所以此时二面角A﹣PC﹣B的余弦值是
若a= （1 ，5 ，-1 ），b= （-2 ，3 ，5 ）。
（1）若（ka+b）∥（a-3b），求k；
（2）若（ka+b）⊥（a-3b），求k。
正确答案
解：（1）ka+b=（k-2，5k+3，-k+5），a-3b=（1+3×2，5-3×3，-1-3×5）=（7，-4，-16）
∵（ka+b）∥（a-3b）
∴
解得
（2）∵（ka+b）⊥（a-3b）
∴（k-2）×7+（5k+3）×（-4）+（-k+5）×（-16）=0
解得
在空间四边形PABC 中，PA⊥平面ABC ，AC⊥BC. 若A 在PB、PC上的射影分别是E 、F，求证：EF⊥PB ．
正确答案
证明：由已知可得
所以存在实数x，y，使得
∴EF⊥PB.
已知点A，B，C的坐标分别为（0，1，0），（-1，0，1），（2，1，1），点P的坐标为（x，0，z），若
正确答案
∵
∵
∴
∴P(
故答案为P(
已知向量
正确答案
∵向量
∴k
又∵(k
∴(k
解得k=7
故答案为：7
在空间坐标系中，已知直角三角形ABC的三个顶点为A（﹣3，﹣2，1）、B（﹣1，﹣1，﹣1）、C（﹣5，x，0），则x的值为（ ）．
正确答案
0或9
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