- 空间向量及其运算
- 共1844题
已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=
（Ⅰ）当x=2时，求证：BD⊥EG；
（Ⅱ）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f(x)，求f(x)的最大值；
（Ⅲ）当f(x)取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值。
正确答案
解：（Ⅰ）∵平面AEFD⊥平面EBCF，又EF∥AD，∠AEF=
∴AE⊥EF，∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE，
又BE⊥EF，故可如图建立空间坐标系E-xyz，
∵EA=2，∴EB=2，
又∵G为BC的中点，BC=4，
∴BG=2，则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），
D（0，2，2），E（0，0，0），
∴BD⊥EG。
（Ⅱ）∵AD∥面BFC，
所以
即x=2时，f（x）有最大值
（Ⅲ）设平面DBF的法向量为
∵AE=2， B（2，0，0），D（0，2，2）， F（0，3，0），
∴
则
即
取x=3，y=2，z=1，∴
∵AE⊥面BCF，∴面BCF一个法向量为
则
由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角，
所以此二面角的余弦值为-
已知空间三点A（0，2，3） 、B （-2 ，1 ，6 ）、C（1，-1，5）．
（1）求以
（2）若
正确答案
解：（1）由题中条件可知
∴以
（2）设a=（x，y，z），
由题意得
解得
∴a=（1，1，1）或a=（-1，-1，-1）。
在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，M 是棱DD1 的中 点，O 为正方形ABCD 的中心，用坐标法证明向量
正确答案
证明：如图 所示，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1个单位，则A（1，0，0），A1（1，0，1），
已知点A （2 ，3 ，-1 ），B （8 ，-2 ，4 ），C(3 ，0 ，5) ，是否存在实数x ，使
正确答案
解：
∴6(6+x)-5(-5-3x)+5(5+6x)=0,
∴
∴存在实数
如图，在直三棱柱
（1）当
（2）当
正确答案
解：（1 ）设
（2）设
设直线
设面
设面
直三棱柱ABC-A′B′C′中，AC=BC=AA′，∠ACB=90°，D、E分别为AB、BB′的中点。
（1）求证：CE⊥A′D；
（2）求异面直线CE与AC′所成角的余弦值。
正确答案
解：（1）设
根据题意，|a|=|b|=|c|且a·b=b·c=c·a=0
∴
∴
∴
即CE⊥A′D。
（2）
∴
∴
即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为
如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱A1A=2，
（Ⅰ）证明：AC⊥A1B；
（Ⅱ）若棱AA1上存在一点P，使得
正确答案
解：以
则
（Ⅰ）
∴
∴
（Ⅱ）∵
∴
设平面
令
设平面
∴
∴λ=2。
如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA=DA=AB=2CB，EA⊥AB，M是EC的中点。
（1）求证：DM⊥EB；
（2）求二面角M-BD-A的余弦值。
正确答案
解：建立如图所示的空间直角坐标系，并设EA=DA=AB=2CB=2，
则 D（0，0，2），C（0，2，1），B（0，2，0）， E（2，0，0），
（1）因为
所以
从而得DM⊥EB。
（2）设n1=（x，y，z）是平面BDM 的法向量，
则由
及
得
可以取x=1，
则n1=（1，2，2）
显然，n2=（1，0，0）为平面ABD的一个法向量
设二面角M-BD-A的平面角为θ，
则此二面角的余弦值
在三棱锥
（1）证明：
（2）求
正确答案
解：（1）取
以
则
所以
故
（2）由（1）知，
得
则
所以
已知A（4，1，3），B（2，-5，1），C（3，7，λ），若
正确答案
∵
∴
故答案为-14．
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