空间向量及其运算
共1844题

空间向量及其运算
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题型：简答题

简答题

三棱柱ABC-A1B1C1中，M、N分别是A1B、B1C1上的点，且BM=2A1M，C1N=2B1N．设，，．

（Ⅰ）试用表示向量；

（Ⅱ）若∠BAC=90°，∠BAA1=∠CAA1=60°，AB=AC=AA1=1，求MN的长．

正确答案

解：（Ⅰ）由图形知==．

（Ⅱ）由题设条件

∵=，

∴，．

解析

解：（Ⅰ）由图形知==．

（Ⅱ）由题设条件

∵=，

∴，．

题型：单选题

单选题

已知=（1-t，2t-1，0），=（2，t，2t），则|-|的最小值为（　　）

正确答案

解析

解：=（-1-t，t-1，-2t），

∴|-|=

=≥，当且仅当t=0时取等号．

∴|-|的最小值为．

故选：D．

题型：单选题

单选题

若向量=（1，λ，2），=（2，-1，2），、的夹角的余弦值为，则λ的值为（　　）

A-

D-

正确答案

解析

解：∵向量=（1，λ，2），=（2，-1，2），

设向量，的夹角为θ，可得cosθ=

===，

化简可得12λ=31，解得λ=

故选C

题型：单选题

单选题

已知向量，则与的夹角是（　　）

Dπ

正确答案

解析

解：∵=（0，2，1）（-1，1，-2）=0×（-1）+2×1+1×（-2）=0，

∴，

∴与的夹角：，

故选：C．

题型：填空题

填空题

（2015秋•晋城期末）已知点A（6，4，-4）与点B（-3，-2，2），O为坐标原点，则向量与的夹角是______．

正确答案

180°

解析

解：点A（6，4，-4）与点B（-3，-2，2），O为坐标原点，

∴=（6，4，-4），=（-3，-2，2）；

∴=-2，

∴向量与的夹角是180°．

故答案为：180°．

题型：简答题

简答题

（2015秋•莆田校级期末）已知：=（x，4，1），=（-2，y，-1），=（3，-2，z），∥，⊥，求：

（1），，；

（2）（+）与（+）所成角的余弦值．

正确答案

解：（1）∵，∴，解得x=2，y=-4，

故=（2，4，1），=（-2，-4，-1），

又因为，所以=0，即-6+8-z=0，解得z=2，

故=（3，-2，2）

（2）由（1）可得=（5，2，3），=（1，-6，1），

设向量与所成的角为θ，

则cosθ==

解析

解：（1）∵，∴，解得x=2，y=-4，

故=（2，4，1），=（-2，-4，-1），

又因为，所以=0，即-6+8-z=0，解得z=2，

故=（3，-2，2）

（2）由（1）可得=（5，2，3），=（1，-6，1），

设向量与所成的角为θ，

则cosθ==

题型：填空题

填空题

若向量=（-1，2，0），=（3，0，-2）都与一个二面角的棱垂直，且、分别与两个半平面平行，则该二面角的余弦值为______．

正确答案

解析

解：∵=（-1，2，0），=（3，0，-2）都与一个二面角的棱垂直，且、分别与两个半平面平行，

∴向量与的夹角θ或其补角即为该二面角的平面角，

∵cosθ===，

∴该二面角的余弦值为：±

故答案为：±

题型：单选题

单选题

（2015秋•成都校级期末）若A、B两点的坐标分别是A（3cosa，3sina，1），B（2cosb，2sinb，1），则||的取值范围是（　　）

A[0，5]

B[1，5]

C（1，5）

D[1，25]

正确答案

解析

解：∵A（3cosa，3sina，1），B（2cosb，2sinb，1），

∴=（3cosa-2cosb）2+（3sina-2sinb）2+（1-1）2

=9+4-12（cosacosb+sinasinb）

=13-12cos（a-b）；

∵-1≤cos（a-b）≤1，

∴1≤13-12cos（a-b）≤25，

∴||的取值范围是[1，5]．

故选：B．

题型：填空题

填空题

已知向量=（2，-1，2），=（1，0，3），则cos∠OAB=______．

正确答案

latex=““＞39

解析

解：∵向量=（2，-1，2），=（1，0，3），

∴∴，

，

∴cos∠OAB=

=．

故答案为：．

题型：单选题

单选题

若已知A（1，1，1），B（-3，-3，-3），则线段AB的长为（　　）

正确答案

解析

解：∵A（1，1，1），B（-3，-3，-3），∴=（4，4，4），∴==．

故选C．

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