空间向量及其运算
共1844题

空间向量及其运算
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题型：填空题

填空题

已知空间直角坐标系中三点A（0，1，0），M（，1，0），N（0，3，），O为坐标原点，则直线OA与MN所成角的余弦值为______．

正确答案

解析

解：=（0，1，0），=（-，2，），

∴•=0×（-）+1×2+0×=2，

||=1，||==2；

∴cos＜，＞===，

即直线OA与MN所成角的余弦值为．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

已知空间三点A（0，2，3），B （-2，1，6），C（1，-1，5）

（1）求以AB，AC为邻边的平行四边形面积

（2）求平面ABC一个法向量

（3）若向量分别与垂直，且求的坐标．

正确答案

解：（1），=（1，-3，2），

===，

S平行四边形ABCD=

=×=7．

（2）设平面ABC的一个法向量为，由，可得，

取=（1，1，1）．

（3）∵，，

∴∥，

设=λ（1，1，1），

∵，解得λ=±1，

∴=±（1，1，1）．

解析

解：（1），=（1，-3，2），

===，

S平行四边形ABCD=

=×=7．

（2）设平面ABC的一个法向量为，由，可得，

取=（1，1，1）．

（3）∵，，

∴∥，

设=λ（1，1，1），

∵，解得λ=±1，

∴=±（1，1，1）．

题型：单选题

单选题

若A（3cosα，3sinα，1），B（2cosθ，2sinθ，1），则||的取值范围是（　　）

A[0，5]

B[1，5]

C（1，5）

D（0，5）

正确答案

解析

解：根据两点的距离公式，可得

||=

=，

∵-1≤cos（α-θ）≤1，

∴当cos（α-θ）=-1时，||达最大值为5；当cos（α-θ）=1时，||达最小值为1

因此，||的取值范围是[1，5]．

故选：B

题型：单选题

单选题

已知=（3，-2，-3），=（-1，x-1，1），且与的夹角为钝角，则x的取值范围是（　　）

A（-2，+∞）

B（-2，）∪（，+∞）

C（-∞，-2）

D（，+∞）

正确答案

解析

解：∵与的夹角为钝角，

∴cos＜，＞＜0．且与不共线

∴•＜0．且（3，-2，-3）≠λ（-1，x-1，1）

∴-3-2（x-1）-3＜0．且x≠

∴x的取值范围是（-2，）∪（，+∞）．

故选B．

题型：填空题

填空题

（理）下列四个结论中，所有正确结论的序号是______；

①在一条长为2的线段上任取两点，则这两点到线段中点的距离的平方和大于1的概率为；

②若直线kx-y+1=0与椭圆x2+=1恒有公共点，则a的取值范围为a＞1；

③若向量=(1，x，3)与=(x，4，6)的夹角为锐角，则x的取值范围为x＞-；

④若动点M到定点（1，0）的距离比它到y轴的距离大1，则动点M的轨迹是抛物线．

正确答案

在一条长为2的线段上任取两点，则这两点到线段中点的距离的平方和大于1的概率为；

由几何概型的概率公式知①正确，

若直线kx-y+1=0与椭圆x2+=1恒有公共点，则直线所过的定点一定要在椭圆上或在椭圆的内部，

故a的取值范围为a＞1；故②正确．

若向量=(1，x，3)与=(x，4，6)的夹角为锐角，则x的取值范围为x＞-，

还要减去两个向量共线的情况，故③不正确．

若动点M到定点（1，0）的距离比它到y轴的距离大1，则动点M到定点（1，0）的距离和它到x=-1的距离相等，

得到动点M的轨迹是抛物线，故④正确．

综上可知有①②④三个说法是正确的．

故答案为：①②④

题型：简答题

简答题

直三棱柱ABC-A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=a，∠BCA=90°，AA1=2a，M，N分别是A1B1、AA1的中点．

（I）求BN的长；

（II）求BA1，CB1夹角的余弦值．

正确答案

以C为原点建立空间直角坐标系

（I）B（0，a，0），N（a，0，a），

∴||==a．…（4分）

（II）A1（a，0，2a），C（0，0，0），B1（0，a，2a），

∴=（a，-a，2a），=（0，a，2a），

∴•=a×0+（-a）×a+2a×2a=3a2，…（8分）

||==a，

∴cos＜，＞===．…（14分）

题型：填空题

填空题

在空间直角坐标系中，已知A（1，-2，1），B（2，2，2），点P在z轴上，且满足|PA|=|PB|，则点P的坐标为______．

正确答案

∵点P在z轴上，

∴可设点P（0，0，z）

又∵A（1，-2，1），B（2，2，2），且|PA|=|PB|，

∴=

解之得z=3，所以点P坐标为（0，0，3）

故答案为：（0，0，3）

题型：简答题

简答题

已知空间三点A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5）．

（Ⅰ）求以AB、AC为边的平行四边形的面积；

（Ⅱ）若向量分别与、垂直，且|a|=，求的坐标．

正确答案

（Ⅰ）=(-2，-1，3)，=(1，-3，2)，||=，||=

cos∠BAC==，∴∠BAC=60°…（4分）

∴S=2×××sin60°=7…（6分）

（Ⅱ）设=（x，y，z），∵⊥，⊥，且||=…（8分）

∴，解得或…（11分）

∴=（1，1，1）或=（-1，-1，-1）…（12分）

题型：填空题

填空题

已知点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3），则△ABC中的∠BAC的大小是______．

正确答案

∵=(6，-2，-3)，=(-2，3，-6)，

∴•=6×（-2）+-2×3+（-3）×（-6）=0，

∴⊥，

∴∠BAC=90°．

故答案为90°．

题型：简答题

简答题

已知向量=（1，-3，2）和=（-2，1，1），点A（-3，-1，4），B（-2，-2，2）．

（1）求|2+|；

（2）在直线AB上是否存在一点E，使⊥（O为原点），若存在，求出E点坐标；若不存在，说明理由．

正确答案

（1）∵2+=2（1，-3，2）+（-2，1，1）=（0，-5，5），∴|2+|==5；

（2）假设在直线AB上存在一点E，使⊥（O为原点），则存在实数λ，使得=λ，

∴=+λ=（-3，-1，4）+λ（1，-1，-2）=（-3+λ，-1-λ，4-2λ），

∴•=-2（-3+λ）+（-1-λ）+（4-2λ）=0，解得λ=．

∴=(-，-，)，即E(-，-，)．

故在直线AB上存在一点E(-，-，)，使⊥（O为原点）．

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