空间向量及其运算
共1844题

空间向量及其运算
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题型：单选题

单选题

在正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是AC的中点，AB1⊥BC1，则平面DBC1与平面CBC1所成的角为(　　)

A30°

B45°

C60°

D90°

正确答案

题型：单选题

单选题

若直线l的方向向量为a＝(1，－1,2)，平面α的法向量为u＝(－2,2，－4)，则(　　)

Al∥α

Bl⊥α

Cl⊂α

Dl与α斜交

正确答案

题型：简答题

简答题

如图，四棱锥P-ABCD中，底面积ABCD为矩形，PA⊥平向ABCD，E为PD的中点，AB=AP=1，AD=，试建立恰当的空间直角坐标系，试求直线PC的一个法向量和平面PCD的一个法向量．

正确答案

解：如图所示，建立空间直角坐标系A-BDP．

A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，，0），D（0，，0），P（0，0，1）．

=（1，，-1），

设直线PC的一个法向量为=（x，y，z），

则=x+y-z=0，

取=（，-1，0）．

=（0，，-1），

设平面PCD的一个法向量=（x1，y1，z1），

则，，

令z1=，y1=1，x1=0，

∴=（0，1，）．

解析

解：如图所示，建立空间直角坐标系A-BDP．

A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，，0），D（0，，0），P（0，0，1）．

=（1，，-1），

设直线PC的一个法向量为=（x，y，z），

则=x+y-z=0，

取=（，-1，0）．

=（0，，-1），

设平面PCD的一个法向量=（x1，y1，z1），

则，，

令z1=，y1=1，x1=0，

∴=（0，1，）．

题型：单选题

单选题

（2015秋•滨州期末）设直线l的方向向量是=（-2，2，t），平面α的法向量=（6，-6，12），若直线l⊥平面α，则实数t等于（　　）

B-4

D-2

正确答案

解析

解：∵直线l⊥平面α，且

直线l的方向向量是=（-2，2，t），平面α的法向量=（6，-6，12），

∴∥，

∴==，

解得t=-4．

故选：B．

题型：单选题

单选题

已知空间直角坐标系中点A（1，0，0），B（2，0，1），C（0，1，2），则平面ABC的一个法向量为（　　）

A（-1，-3，2）

B（1，3，-1）

C（1，3，1）

D（-1，3，1）

正确答案

解析

解：=（1，0，1），=（-1，1，2），

设平面ABC的法向量为=（x，y，z），

则，取x=1，则z=-1，y=3．

∴=（1，3，-1）．

故选：B．

题型：单选题

单选题

已知直线l的一个方向向量为=（1，-1，-2），平面α的一个法向量为=（2，-2，-4），则（　　）

Al∥α

Bl⊂α

Cl⊥α

D直线l与平面α相交但不垂直

正确答案

解析

解：∵直线l的一个方向向量为=（1，-1，-2），

平面α的一个法向量为=（2，-2，-4），

又∵=2，∴，

∴l⊥α

故选：C

题型：填空题

填空题

（2015春•宿迁期末）已知直线l∥平面α，l的一个方向向量为（t，2，4），α的法向量为（，1，2），则实数t的值为______．

正确答案

-20

解析

解：∵直线l∥平面α，l的一个方向向量为=（t，2，4），α的法向量为=（，1，2），

∴==0，

解得t=-20．

故答案为：-20．

题型：填空题

填空题

（2015春•淮安校级期末）已知向量=（-1，3，1）为平面α的法向量，点M（0，1，1）为平面内一定点，P（x，y，z）为平面内任一点，则x，y，z满足的关系是______．

正确答案

x-3y-z+4=0

解析

解：=（x，y-1，z-1），

∵向量=（-1，3，1）为平面α的法向量，

∴=-x+3（y-1）+（z-1）=0，

化为x-3y-z+4=0．

故答案为：x-3y-z+4=0．

题型：简答题

简答题

已知空间三点A（0，2，3）、B （-2 ，1 ，6 ）、C（1，-1，5）．

（1）求以为邻边的平行四边形面积；

（2）若，且a分别与垂直，求向量a的坐标.

正确答案

解：（1）由题中条件可知=（-2，-1，3），=（1，-3，2），

∴以为邻边的平行四边形面积

（2）设a=（x，y，z），

由题意得

解得或

∴a=（1，1，1）或a=（-1，-1，-1）。

题型：单选题

单选题

下列说法中不正确的是

[ ]

A平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量

B一个平面的所有法向量互相平行

C如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直

D如果a，b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量

正确答案

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