空间向量及其运算
共1844题

空间向量及其运算
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题型：简答题

简答题

已知点A（2，1，1），B（0，1，-1），C（1，0，1），试找出平面ABC的-个法向量．

正确答案

解：点A（2，1，1），B（0，1，-1），C（1，0，1），

∴=（-2，0，-2），

=（-1，-1，0），

设平面ABC的法向量为=（x，y，z）；

则，

即，

令x=1，则y=-1，z=-1，

∴平面ABC的-个法向量为（1，-1，-1）．

解析

解：点A（2，1，1），B（0，1，-1），C（1，0，1），

∴=（-2，0，-2），

=（-1，-1，0），

设平面ABC的法向量为=（x，y，z）；

则，

即，

令x=1，则y=-1，z=-1，

∴平面ABC的-个法向量为（1，-1，-1）．

题型：单选题

单选题

（2015秋•房山区期末）已知平面α的法向量为（2，-4，-2），平面β的法向量为（-1，2，k），若α∥β，则k=﹙）

A-2

B-1

正确答案

解析

解：设平面α的法向量=（2，-4，-2），平面β的法向量=（-1，2，k）．

∵α∥β，

∴∥，

∴∃实数λ使得=λ．

∴，得k=1．

故选：C．

题型：填空题

填空题

我们把在平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系xOy中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A（-3，4），且其法向量为 =（1，-2）的直线方程为1×（x+3）+（-2）×（y-4）=0，化简得x-2y+11=0．类比上述方法，在空间坐标系O-xyz中，经过点A（1，2，3），且其法向量为=（-1，-1，1）的平面方程为______．

正确答案

x+y-z=0

解析

解：根据法向量的定义知，当为平面α的法向量时，⊥α，

任取平面α内一点P（x，y，z），则⊥；

∵=（1-x，2-y，3-z），=（-1，-1，1）；

∴•=-1•（1-x）-1•（2-y）+1•（3-z）=0，

化简得x+y-z=0．

故答案为：x+y-z=0．

题型：简答题

简答题

已知PA⊥面ABCD，PA=AB=3，面ABCD为正方形．试建立适当的平面直角坐标系，分别求下列平面的法向量．

（1）面ABCD；

（2）面PAB；

（3）面PBC；

（4）面PCD．

正确答案

解：如图所示，建立空间直角坐标系．

则（1）面ABCD的法向量为（0，0，1）；

（2）面PAB的法向量为（0，1，0）；

（3）由B（3，0，0），C（3，3，0），P（0，0，3）．

∴=（3，0，-3），=（3，3，-3），

设平面PBC是法向量为=（x，y，z），则，∴，取=（1，0，1）；

（4）由（3）同理可得：平面PCD的法向量为：=（0，1，1）．

解析

解：如图所示，建立空间直角坐标系．

则（1）面ABCD的法向量为（0，0，1）；

（2）面PAB的法向量为（0，1，0）；

（3）由B（3，0，0），C（3，3，0），P（0，0，3）．

∴=（3，0，-3），=（3，3，-3），

设平面PBC是法向量为=（x，y，z），则，∴，取=（1，0，1）；

（4）由（3）同理可得：平面PCD的法向量为：=（0，1，1）．

题型：单选题

单选题

（2015秋•陕西校级期末）已知直线l过点P（1，0，-1），平行于向量，平面α过直线l与点M（1，2，3），则平面α的法向量不可能是（　　）

A（1，-4，2）

D（0，-1，1）

正确答案

解析

解：由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量，和向量，

而=（1，2，3）-（1，0，-1）=（0，2，4），

选项A，（2，1，1）•（1，-4，2）=0，（0，2，4）•（1，-4，2）=0满足垂直，故正确；

选项B，（2，1，1）•（，-1，）=0，（0，2，4）•（，-1，）=0满足垂直，故正确；

选项C，（2，1，1）•（-，1，）=0，（0，2，4）•（-，1，）=0满足垂直，故正确；

选项D，（2，1，1）•（0，-1，1）=0，但（0，2，4）•（0，-1，1）≠0，故错误．

故选D

题型：简答题

简答题

已知空间三点A（0，0，2），B（0，2，2），C（2，0，2），求平面ABC的一个法向量．

正确答案

解：∵空间三点A（0，0，2），B（0，2，2），C（2，0，2），

∴=（0，2，0），=（2，0，0）．

令平面ABC的法向量为=（x，y，z），

则，解得x=0，y=0，取z=1．

可得平面ABC的法向量为=（0，0，1）．

解析

解：∵空间三点A（0，0，2），B（0，2，2），C（2，0，2），

∴=（0，2，0），=（2，0，0）．

令平面ABC的法向量为=（x，y，z），

则，解得x=0，y=0，取z=1．

可得平面ABC的法向量为=（0，0，1）．

题型：单选题

单选题

（2015秋•余干县校级期末）已知平面α的法向量为=（2，-2，4），=（-3，1，2），点A不在α内，则直线AB与平面的位置关系为（　　）

AAB⊥α

BAB⊂α

CAB与α相交不垂直

DAB∥α

正确答案

解析

解：∵=-6-2+8=0，点A不在α内，，

∴AB∥α．

故选：D．

题型：单选题

单选题

己知，则平面ABC的一个单位法向量可表示为（　　）

A（-1，2，-2）

正确答案

解析

解：设平面ABC的一个法向量为=（x，y，z）．

则，令，解得，y=-，

∴．

故选：C．

题型：单选题

单选题

若直线l的方向向量为=（1，-1，2），平面α的法向量为=（-2，2，-4），则（　　）

Al∥α

Bl⊥α

Cl⊂α

Dl与α斜交

正确答案

解析

解：∵=（1，-1，2），=（-2，2，-4），

∴，

∴l⊥α．

故选：B．

题型：单选题

单选题

已知平面α的一个法向量为（2，-1，3），平面β的一个法向量为（3，9，1），则平面α和平面β的位置关系是（　　）

A平行

B相交但不垂直

C垂直

D重合

正确答案

解析

解：由题意可得（2，-1，3）•（3，9，1）=2×3-1×9+3×1=0，

故两个平面的法向量垂直，故平面α和平面β的位置关系为垂直，

故选C

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