空间向量及其运算
共1844题

空间向量及其运算
共1844题

热门试卷

X 查看更多试卷

题型：简答题

简答题

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD=2，PD⊥底面ABCD，且PD=AD，求：平面PAB的一个法向量．

正确答案

解：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=AD，

从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD，坐标原点，射线DA，DB，DP为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，

则A（1，0，0），B（0，，0），P（0，0，1）．

设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则，即，

即，因此可取．

解析

解：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=AD，

从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD，坐标原点，射线DA，DB，DP为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，

则A（1，0，0），B（0，，0），P（0，0，1）．

设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则，即，

即，因此可取．

题型：单选题

单选题

（2015秋•阜阳校级期末）若直线l的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量为=（-2，0，-4），则（　　）

Al∥α

Bl⊥α

Cl⊂α

Dl与α相交但不垂直

正确答案

解析

解：∵=（1，0，2），=（-2，0，4），

∴=-2，

∴∥，

因此l⊥α．

故选：B．

题型：填空题

填空题

设平面α的一个法向量为=（1，2，-2），平面β的一个法向量为=（-2，-4，k），若α∥β，则k=______．

正确答案

解析

解：∵α∥β，∴∥，

∴存在实数λ使得．

∴，解得k=4．

故答案为：4．

题型：单选题

单选题

已知点O为坐标原点，点A（1，0，0）、点B（1，1，0），则下列各向量中是平面AOB的一个法向量的是（　　）

A（1，1，1）

B（1，0，1）

C（0，1，1）

D（0，0，1）

正确答案

解析

解：设平面AOB的一个法向量为=（x，y，z）．

则，

解得x=y=0．

∴只有D中的向量（0，0，1）满足条件．

故选：D．

题型：简答题

简答题

如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，分别求出平面ABC1D1和平面A1B1CD的一个法向量，并证明这两个平面互相垂直．

正确答案

解：设D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），

A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1）．

则=（0，1，0），=（-1，0，1）．

设平面ABC1D1的一个法向量为=（x，y，z），则

•=y=0，•=-x+z=0，不妨令x=1，则z=1．

故=（1，0，1）．

设平面A1B1CD的一个法向量为，同理，可求=（-1，0，1），

∵=（1，0，1）•（-1，0，1）=-1+0+1=0，

∴．

∴平面ABC1D1⊥平面A1B1CD．

解析

解：设D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），

A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1）．

则=（0，1，0），=（-1，0，1）．

设平面ABC1D1的一个法向量为=（x，y，z），则

•=y=0，•=-x+z=0，不妨令x=1，则z=1．

故=（1，0，1）．

设平面A1B1CD的一个法向量为，同理，可求=（-1，0，1），

∵=（1，0，1）•（-1，0，1）=-1+0+1=0，

∴．

∴平面ABC1D1⊥平面A1B1CD．

题型：填空题

填空题

已知过点（0，1）的直线l：xtanα-y-3tanβ=0的一个法向量为（2，-1），则tan（α+β）=______．

正确答案

解析

解：∵过点（0，1）的直线l：xtanα-y-3tanβ=0的一个法向量为（2，-1），

∴-1-3tanβ=0，tanα=-1．

∴，tanα=2．

∴tan（α+β）===1，

故答案为：1．

题型：填空题

填空题

直线l的方向向量为=（2，-4，3），平面α的一个法向量为=（p，q，6），若l⊥α，则p=______；q=______．

正确答案

-8

解析

解：∵l⊥α，

∴，

∴存在实数k使得，

∴，解得k=2，p=4，q=-8．

故答案分别为：4；-8．

题型：填空题

填空题

若直线l的方向向量=（-2，3，1）平面α的一个法向量=（4，0，1）则直线l与平面α所成的角的正弦值为______．

正确答案

解析

解：直线l与平面α所成的角的正弦值====．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

如图，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，求平面SCD的法向量．

正确答案

解：由题意，以A为原点，分别以AD、AB、AS所在直线为x、y、z轴建立坐标系，

可得S（0，0，1），D（，0，0），C（1，1，0），

∴=（1，1，-1），=（，0，-1），

设平面SCD的法向量为=（x，y，z），

则，解得，

取z=1可得平面SCD的一个法向量为=（2，-1，1），

解析

解：由题意，以A为原点，分别以AD、AB、AS所在直线为x、y、z轴建立坐标系，

可得S（0，0，1），D（，0，0），C（1，1，0），

∴=（1，1，-1），=（，0，-1），

设平面SCD的法向量为=（x，y，z），

则，解得，

取z=1可得平面SCD的一个法向量为=（2，-1，1），

题型：填空题

填空题

（2015秋•漳州校级期末）若和分别为平面α和平面β的一个法向量，且α⊥β，则实数λ=______．

正确答案

解析

解：∵α⊥β，

∴，

∴=λ-6+3=0，

解得λ=3．

故答案为：3．

继续学习学习下一知识点

下一知识点 : 立体几何中的向量方法

百度题库 > 高考 > 数学 > 空间向量及其运算

扫码查看完整答案与解析