热门试卷

（Ⅰ）见解析；

（II）当点在线段的中点时，二面角的余弦值为.

试题分析：（Ⅰ）通过连接，应用三角形的中位线定理得到证明得到 面．

（II）利用空间直角坐标系，确定平面的一个法向量，而平面的法向量，得到，确定出点在线段的中点时，二面角的余弦值为.解答此类问题，要注意发现垂直关系，建立适当地直角坐标系，以简化解题过程.

试题解析：（Ⅰ）证明：连接，设，连接，

由三角形的中位线定理可得：，

∵平面，平面，∴平面．

（II）建立如图空间直角坐标系，

在中，斜边,得，所以，.

设，得.

设平面的一个法向量，由得，

取，得.

而平面的法向量，所以由题意，即，

解得（舍去）或，所以，当点在线段的中点时，二面角的余弦值为.

（1）根据线面垂直的性质定理来证明线线垂直。

（2）

试题分析：解析：（1）在图1中， 可得， 从而，

故.

取中点连结， 则， 又面面，

面面， 面， 从而平面.

∴，又， .

∴平面.

（2）建立空间直角坐标系如图所示，

则， ， ，，

.

设为面的法向量，则即， 解得. 令， 可得.

又为面的一个法向量，∴.

∴二面角的余弦值为.

（法二）如图，取的中点，的中点，连结.

易知，又，，又，.

又为的中位线，因，，，且都在面内，故，故即为二面角的平面角.

在中，易知；

在中，易知，.

在中.

故.

∴二面角的余弦值为.

点评：主要是考查了运用向量法来空间中的角以及垂直的证明，属于基础题。

（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1，

连接A1D，C1F1，CF1，因为AB="4," CD=2,且AB//CD，

所以CDA1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1//A1D，

又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1//A1D，

所以CF1//EE1，又因为平面FCC，平面FCC，

所以直线EE//平面FCC.

（2）因为AB="4," BC="CD=2," 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以OB⊥平面CC1F,过O在平面CC1F内作OP⊥C1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB为二面角B-FC-C的一个平面角, 在△BCF为正三角形中,,在Rt△CC1F中, △OPF∽△CC1F,∵∴,

在Rt△OPF中,,,所以二面角B-FC-C的余弦值为.

解法二:（1）因为AB="4," BC="CD=2," F是棱AB的中点,

所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形, 因为ABCD为

等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中点M,

连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD,

以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,

,则D（0,0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,

C1（0,2,2）,E（,,0）,E1（,-1,1）,所以,,设平面CC1F的法向量为则所以取,则,所以,所以直线EE//平面FCC.

（2）,设平面BFC1的法向量为,则所以,取,则,

,, 

所以,由图可知二面角B-FC-C为锐角,所以二面角B-FC-C的余弦值为

略

（1）对于线面垂直的证明，一般要通过线线垂直来分析证明，关键是对于，

（2）3

试题分析：解析:(Ⅰ)因为平面,平面,所以.又因为平面,平面,所以.而,平面,平面,所以平面.                                 

5分 

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知平面,而平面,所以,而为矩形,所以为正方形,于是.

法1:以点为原点,、、为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系.则、、、,于是,.设平面的一个法向量为,则,从而,令,得.而平面的一个法向量为.所以二面角的余弦值为,于是二面角的正切值为3.                                      13分

法2:设与交于点,连接.因为平面,平面,平面,所以,,于是就是二面角的平面角.又因为平面,平面,所以是直角三角形.由∽可得,而,所以,,而,所以,于是,而,于是二面角的正切值为.

点评：主要是考查了空间几何体中线面垂直的证明，以及二面角的平面角的求解，属于中档题。

（1）（2）详见试题解析; 

试题分析：（Ⅰ）要证线线垂直只要证明线面垂直,利用题中数据求出底面平行四边形的各边的长度,找到 及 是等腰三角形，利用等腰三角形中线是高结论找到“线线垂直”关系（Ⅱ）要找线面平行先找线线平行,要找线线平行先找面面交线，即平面 与平面交线 ， 注意到为中点的特点，即可导致∥，从而推出线面平行 （Ⅲ）建立空间直角坐标系，确定关键点的坐标，再运用空间向量进行运算.

试题解析：（Ⅰ）证明：连接AC， ，

由余弦定理得，  2分

取中点，连接，则.

面       4分

（Ⅱ）当为的中点时，面

证明：连接 ，在中，∥  ，又 平面 ，

平面面， 平面.  7分

（3）如图，以射线OA为X轴，以射线OB为轴，以射线OS为轴，以为原点，建立空间直角坐标系,则．

，9分

设平面法向量为

有令 ，则，

   11分   

所以直线与面所成角的正弦值为12分

（1）见解析（2）

(1)∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC.∵AB＝2，AD＝CD＝1，∴AC＝BC＝.

∴AC2＋BC2＝AB2.∴AC⊥BC.

又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC.

∵AC⊂平面EAC，

∴平面EAC⊥平面PBC.

(2)如图，以点C为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，

则C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，－1,0)，设P(0,0，a)(a>0)，

则E，＝(1,1,0)，＝(0,0，a)，＝.取m＝(1，－1,0)，则m·＝m·＝0，m为面PAC的法向量．设n＝(x，y，z)为面EAC的法向量，则n·＝n·＝0，即取x＝a，y＝－a，z＝－2，则n＝(a，－a，－2)，依题意，|cos〈m，n〉|＝＝＝，则a＝2.于是n＝(2，－2，－2)，＝(1,1，－2)．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为

（1）证明详见解析；（2）30°；（3）存在  SE∶EC=2∶1

试题分析：（1）设AC交BD于O,以 、、分别为S,D,C,

x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系，则S,D,C,

求出，的坐标，并计算得到·=0，从而AC⊥SD.（2）为平面PAC的一个法向量，

为平面DAC的一个法向量，向量与的夹角等于二面角PACD的平面角，根据向量的夹角公式计算出与的夹角即可.（3）假设存在一点E使BE∥平面PAC，设=t(0≤t≤1),则=+=+t,因为·=0，可建立关于t的等式，解之即可.

试题解析：(1)证明:连接BD,设AC交BD于O,

由题意知SO⊥平面ABCD,以O为坐标原点,、、分别为

x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系.

设底面边长为a,，则高SO=a.于是S,D,C,

=,=,·=0,故OC⊥SD,从而AC⊥SD.  4分

(2)解:由题设知,平面PAC的一个法向量为=,

平面DAC的一个法向量为=,则cos<,>==,

故所求二面角的大小为30°. 8分

(3)解:在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.，由(2)知是平面PAC的一个法向量,

且=,=,        设=t(0≤t≤1),

=+=+t=,而·=0t=,

即当SE∶EC=2∶1时,BE∥平面PAC.          12分

证明略

 设=a，=b，=c

则a、b、c两两垂直且模相等.

∴a·b=b·c=a·c=0，

又∵=NB1

∴==b，

=+=a+b,

=++=-a+b+c,

∴·=（a+b）·（b+c-a）

=- =0.

∴MN⊥MC，

又=+ =+（b+c）=（a+b+c），

=+=-a+c.

∴·=（a+b+c）（c-a）=0.∴MP⊥B1C.

（Ⅰ）先证 （Ⅱ） （Ⅲ）

试题分析：（Ⅰ）平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，

沿直线BD将△BCD翻折成△

可知CD=6，BC’=BC=10，BD=8，

即，

故．          

∵平面⊥平面，平面平面=，平面，

∴平面．        

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面ABD，且，

如图，以D为原点，建立空间直角坐标系．            

则，，，．

∵E是线段AD的中点，

∴，．

在平面中，，，

设平面法向量为，

∴，即，

令，得，故．            

设直线与平面所成角为，则

．           

∴直线与平面所成角的正弦值为．              

（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面的法向量为，

而平面的法向量为，

∴，

因为二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为．

点评：本题重点考查线面垂直、线面角与二面角的平面角，以及翻折问题，学生必须要掌握在翻折的过程中，哪些是不变的，哪些是改变，这也是解决此类问题的关键．