热门试卷

解：如图建立空间直角坐标系O—xyz，令AB＝AA1＝4，

则A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0），

B1（4，0，4），D（2，0，2），       …………（2分）

（1）（，4，0），面ABC的法向量为（0，0，4），

∵，平面ABC，

∴DE∥平面ABC．                  …………（4分）

（2）

 …………（6分）

∴

∵    …………（8分）

（3） 平面AEF的法向量为，设平面 B1AE的法向量为

   即    …………（10分）

令x＝2，则

∴

∴二面角B1—AE—F的余弦值为

略

证明：（1）在矩形ABCD中，由AP=BP=BC=2a可得PC=PD=………………1分

又CD=4a，由勾股定理可得PD⊥PC……………………3分

因为CF⊥平面ABCD，则PD⊥CF……………………5分

由PCCF=C可得PD⊥平面PFC……………………6分

故平面PCF⊥平面PDE……………………7分

（2）作FC中点M，连接EM、BM

由CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD可得CM∥DE，又CM=DE=a，得四边形DEMC为平行四边形……………………9分

故ME∥CD∥AB，且ME=D=AB，所以四边形AEMB为平行四边形

故AE∥BM……………………12分

又AE平面BCF，BM平面BCF，所以AE∥平面BCF. ……………………14分

略

（1）．（2）到平面的距离．

（1）以为原点，所在直线为轴，

轴，轴建立空间直角坐标系，

，

设．

由，得，

．

．

．

（2）设为平面的法向量，，由

得

又，设与的夹角为，

则．

到平面的距离．

异面直线与所成角的大小为

以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则．

，．

设与所成角为，

则．

．

异面直线与所成角的大小为．

（1）通过余弦定理来证明AC⊥A1C，以及结合题目中的BC⊥A1C来得到证明。

（2）

试题分析：解：（1）证明：∵BC⊥侧面AA1C1C，A1C在面AA1C1C内，∴BC⊥A1C．  2分

在△AA1C中，AC=1，AA1=C1C=2，∠CAA1=，

由余弦定理得A1C2=AC2+-2AC•AA1cos∠CAA1=12+22-2×1×2×cos=3， 

∴A1C=   ∴AC2+A1C2=AA12   ∴AC⊥A1C                 5分

∴A1C⊥平面ABC．                                            6分

（2）由（Ⅰ）知，CA，CA1，CB两两垂直

∴如图，以C为空间坐标系的原点，分别以CA，CA1，CB所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，B(0，0，1)，A(1，0，0)，A1(0，，0)

由此可得D(，，0)，E(0，，0)，=（，，-1），=(0，，-1)．

设平面BDE的法向量为=(x，y，z)，则有令z=1，则x=0，y=

∴=(0，，1)          9分

∵A1C⊥平面ABC   ∴=(0，，0)是平面ABC的一个法向量        10分

∴    

∴平面BDE与ABC所成锐二面角的余弦值为．       12分

点评：主要是考查了空间中线面位置关系，以及二面角的平面角的求解的综合运用，属于中档题。

解（证明）（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．

∵△BCD是正三角形，且AB＝BC＝a，∴AD＝AC＝．

设G为CD的中点，则CG＝，AG＝．

∴，，．

三棱锥D－ABC的表面积为．

（2）取AC的中点H，∵AB＝BC，∴BH⊥AC．

∵AF＝3FC，∴F为CH的中点．

∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．

∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．

∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．

∵AB∩BC＝B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．

∵DE∩EF＝E，∴AC⊥平面DEF．

（3）存在这样的点N，

当CN＝时，MN∥平面DEF．

连CM，设CM∩DE＝O，连OF．

由条件知，O为△BCD的重心，CO＝CM．

∴当CF＝CN时，MN∥OF．∴CN＝．

略

(1)证明：∵ABCD为矩形

∴且            ∵          ∴且

∴平面,又∵平面PAD               ∴平面平面 

(2) ∵………  5分

由（1）知平面，且  ∴平面………  6分

∴………  8分

（3）解法1：以点A为坐标原点，AB所在的直线为ｙ轴建立空间直角坐标系如右图示，则依题意可得,,

可得, ………  10分

平面ABCD的单位法向量为，设直线PC与平面ABCD所成角为，

则

∴，即直线PC与平面ABCD所成角的正弦值

略