热门试卷

（Ⅰ）,因为，

所以CM⊥SN

（Ⅱ）SN与平面CMN所成角为45°

证明：则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,,0）.

（Ⅰ）,因为，

所以CM⊥SN    

（Ⅱ）,设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，

则 因为,

所以SN与平面CMN所成角为45°

在侧棱上不存在点，使得异面直线和所成的角等于

以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．

因为所有棱长都等于2，所以．

假设在侧棱上存在点，使得异面直线与所成的角等于，

可设，

则．

于是，．

因为异面直线和所成的角等于，

所以和的夹角是或．

而，

所以，解得，但由于，

所以点不在侧棱上，

即在侧棱上不存在点，使得异面直线和所成的角等于．

（1）过D在面AC1内作FG∥A1C1分别交AA1、CC1于F、G，则面EFG∥面ABC∥面A1B1C1，

∴△EFG为正三角形，D为FG的中点，ED⊥FG。

连AE， ∵D、E分别为的中点，

∴  。又∵面EFG⊥BB1，

∴ED⊥BB1，故DE为AC1和BB1的公垂线，计算得DE=a。

（2）∵AC=CC1，D为AC1的中点，∴CD⊥AC1，又由（1）可知，ED⊥AC1，∴∠CDE为二面角E—AC1—C的平面角，计算得∠CDE=90°。或由（1）可得DE⊥平面AC1，∴平面AEC1⊥平面AC1，∴二面角E—AC1—C为90°。

（3）用体积法得点C1到平面ACE的距离为a。

略

（1）点坐标为点坐标为．；

（2）．

（1）如图，以为轴，为轴，为轴，为原点建立

空间直角坐标系，则点坐标为点坐标为，

点坐标为．

为的中点，

．

为中点，

；

（2）设为中点，则．

两两互相垂直，平面．

分别为中点，．

面．故为与面所成的角．

．

．

（1）证明见解析（2）平面与平面所成角的大小为

证明：（1）因为平面，

所以，平面，得．

同理可证．

因为，，所以平面．

解：（2）过作的垂线交于，

因为，所以平面．

设与所成角为，则即为平面与平面所成的角．

以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

又，

由，，

可得，．

因为与所成的角为，

所以，．

由定理知，平面与平面所成角的大小为．

解法一：(1)连结，设与交于点，连结.

∵底面ABCD是正方形，∴为的中点，又为的中点，

∴， ∵平面，平面，∴平面.

解法二：(1)以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，则.

∴,设是平面的一个法向量,

则由 

∵，∴, ，∴

(2) 由(1)知是平面BDE的一个法向量，又是平面的一个法向量.设二面角的平面角为，由题意可知.

∴.

本试题考查了同学们空间想象能力，以及对于空间中的线面平行的判定定理和二面角的求解运用。即可运用几何方法，也可以运用空间向量法来解决。

解：建系 D(0,0,0) A(1,0,0)   B(1,1,0)  C(0,1,0)

B(1,1,1) C(0,1,1)   D(0,0,1)   M(1,1/2,1) N(1,1,1/2)                   2分

(1)     COS="2/5                     " 6分

（2）P(1/2,1,1) ="(0,1/2,-1/2)   " =(-1/2,1/2,0)

法向量 则   

则   (1,0,1/2)                                         8分

则cos=                                                  12分

（3）(-1,-1,1)   因为E在BD上

设 所以                   14分

因为(0,1,-1)          则                                16分

略

以D为原点，分别以DA、DC、DD余弦值所在直线为x轴、y轴、z轴，建系如图所示

D（0，0，0）   A1（2，0，4）    B（2，2，0）    E（0，2，1）    C（0，2，0）

（1）        ∴A1C⊥DB    A1C⊥DE

又DBDE="D      " ∴A1C⊥平面BDE

（2）由（1）知是平面BDE的一个法向量

=（-2，2，-4）

设平面A1DE的一个法向量=（x，y，z）

略