热门试卷

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则，

设.

∵为平行四边形，

（II）设为平面的法向量且

设二面角E-FC1-C为，则

（1）异面直线与所成的角等于．（2）证明见解析

（3）二面角的余弦值为．

（1）以为原点，所在直线分别为轴，

轴，轴，建立空间直角坐标系．

设，则，

．

，，即，

，则．

，，

，

所以异面直线与所成的角等于．

（2）连结交于，连结，

．

又，．

，故平面．

（2）连结交于，连结，

．

又，．

，故平面．

（3）设平面的法向量，

，

由得所以

于是．

又因为平面的法向量，

所以，即二面角的余弦值为．

（1）取PD中点M，连结AM，FM

由FM//CD,FM=CD,得FM//AE，FM=AE，四边形AEFM是平行四边形

EF//AM，又AM面PAD，EF//面PAD

（2）PA面ABCD PACD，又ADCD CD面PAD AMCD

又PA="AB=2"  AMPD  AM面PCD EF面PCD

（3）过点D作DNPC交于点N，设BD与EC交于点Q，连结QN

由（2）知DQN为所求角 DN=，DQ=

 RtDNQ中，sin DQN==  DQN=

略

（1）证明见解析（2）与平面所成的角为．（3）当时，三棱锥为正三棱锥．在平面内的射影为的重心．

（1）证明：平面，

．

以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．

设，则．

设，则．

为的中点，．

，．

，平面．

（2），即，，

可求得平面的法向量．

．

设与平面所成的角为，

则．

与平面所成的角为．

（3）的重心，，

平面，．

又，．

．

，即．

反之，当时，三棱锥为正三棱锥．

在平面内的射影为的重心．

（1）见解析

（2）

（Ⅰ）要证AE⊥PD ，先证AE⊥平面PAD，需要证明PA⊥AE，转化为证PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）建立坐标系计算二面角E-AF-C的余弦值．

（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形.

因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.又BC∥AD，因此AE⊥AD.

因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.

而PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A，

所以  AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.所以 AE⊥PD.    6分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，

设AB=2，AP=a，则A（0，0，0），B（，-1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，a），E（，0，0），F（），

所以=（，-1，-a），且=(，0，0）为平面PAD的法向量，设直线PB与平面PAD所成的角为θ，

由sinθ=|cos＜，＞|===    8分

解得a="2" 所以＝（,0,0），＝（，，1）

设平面AEF的一法向量为m=(x1,y1,z1)，则，因此取z1=-1，则m=(0,2,-1),    10分 因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以BD⊥平面AFC，故为平面AFC的一法向量.又=（-,3,0），

所以cos＜m,＞=.

因为二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为.

（1）略  （2）略  （3）

解：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点.设(1)证明：连结AC，AC交BD于G.连结EG.

依题意得底面ABCD是正方形， 是此正方形的中心，

故点G的坐标为且. 这表明.而平面EDB且平面EDB，平面EDB。

(2)证明：依题意得。又故 , 由已知，且所以平面EFD.

(3)解：设点F的坐标为则

从而所以

由条件知，即    解得 。

点F的坐标为 且

,即，故是二面角的平面角.

∵且

,所以，二面角C—PC—D的大小为

本试题主要考查了立体几何中线面平行的判定，线面垂直的判定，以及二面角的求解的综合运用试题。体现了运用向量求解立体几何的代数手法的好处。

（1）证明见解析。

（2）

（3）

（1）证明：平面，．

以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．

设，则．

设，则．

为的中点，．

，．

，平面．

（2），即，，

可求得平面的法向量．

．

设与平面所成的角为，

则．

与平面所成的角的正弦值为．

（3）的重心，，平面，．又，．．

，即．反之，当时，三棱锥为正三棱锥．

在平面内的射影为的重心．