空间向量及其运算
共1844题

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题型：填空题

填空题

下面关于向量的结论中，

(1);(2)；(3)若，则；

（4）若向量平移后，起点和终点的发生变化，所以也发生变化；

（5）已知A、B、C、D四点满足任三点不共线，但四点共面，O是平面ABCD外任一点，且其中正确的序号为

正确答案

(1)(2)(5)

略

题型：简答题

简答题

如图四棱锥中，，，是的中点，是底面正方形的中心，。

（Ⅰ）求证：面；

（Ⅱ）求直线与平面所成的角。

正确答案

（Ⅰ）证明：

； 3分

（Ⅱ）解：

所以是与面所成角。 3分

在中，所以，

又，所以EO与平面所成的角为。

略

题型：填空题

填空题

已知，则实数k的值是。

正确答案

-1

略

题型：简答题

简答题

设平面上向量与不共线，

⑴证明向量与垂直

⑵当两个向量与的模相等，求角．

正确答案

⑴证明略⑵或

（1）

（2）由题意：

得：，得又得或

题型：简答题

简答题

已知向量．

⑴当的值；

⑵求的最小正周期和单调递增区间

正确答案

⑴∵∴∴

⑵

∴的最小正周期为；单调递增区间为

略

题型：填空题

填空题

设是边长为1的正三角形, 则= .

正确答案

题型：简答题

简答题

如图所示，在边长为的正方形中，点在线段上，且，，作，分别交，于点，，作，分别交，于点，，将该正方形沿，折叠，使得与重合，构成如图所示的三棱柱．

（1）求证：平面；

（2）求四棱锥的体积；

（3）求平面与平面所成角的余弦值．

正确答案

（1）在正方形中，因为，

所以三棱柱的底面三角形的边．

因为，，

所以，所以．

因为四边形为正方形，，

所以，而，

所以平面．----------- 4分

（2）因为平面，所以为四棱锥的高．

因为四边形为直角梯形，且，，

所以梯形的面积为．

所以四棱锥的体积．-----------8分

(3)由(1)(2)可知，，，两两互相垂直．以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，、

则，，，，，

所以，，

设平面的一个法向量为．

则，即．

令，则．所以．

显然平面的一个法向量为．

设平面与平面所成锐二面角为，

则．

所以平面与平面所成角的余弦值为．

略

题型：填空题

填空题

在空间坐标系中，已知直角三角形ABC的三个顶点为A、B、C，则的值为 .

正确答案

略

题型：填空题

填空题

如图：在棱长为的正方体中，是棱上任意的两点，且，是上的动点，则三棱锥的体积的最大值为 ________

正确答案

略

题型：简答题

简答题

已知△ABC的△ABC的三边分别为且周长为6，成等比数列，求(1)△ABC的面积S的最大值； (2)的取值范围.

正确答案

解:依题意得,由余弦定理得

故有，又从而

(1)所以，即

(2)所以

∵可以求得的范围为,∴

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