热门试卷

（1）详见解析；（2）

试题分析：(1)由于侧棱底面，又，侧面从而,又因为，所以平面(2) 由三棱锥S－ABC的体积易得由于、、两两互相垂直，故可以为原点建立空间直角坐标系，利用向量便可得面SAD与面SBC所成二面角的正弦值的大小

试题解析：(1)证明：侧棱底面，底面

                                               1分

又底面是直角梯形，垂直于和

,又

侧面,                           3分

侧面

平面                     5分

(2) 连结,底面是直角梯形，垂直于和,

,,设，则，三棱锥,                                7分

如图建系，

则,由题意平面的一个法向量为，不妨设平面的一个法向量为，，，则由得，不妨令，则                  10分

 ,                                     11分

设面与面所成二面角为，则           12分

（1）详见解析;（2）－1．

试题分析：（1）根据题意显然以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系．此时不妨设AD =AA1＝1，AB＝2，则本表示出图中各点坐标，这里主要是要运用向量的知识表示出点E的坐标，这样就可表示出和的坐标，利用向量垂直的充要条件：它们的数量积等于0，问题即可得证;（2）运用求平面法向量的知识分别求出：平面DEC的法向量为n1＝(0，0，1);平面D1CE的法向量为，利用向量夹角知识可得： ，可解得±－1．利用E是棱AB上的一点，所以λ＞0，故所求的λ值为－1．

试题解析：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，

DD1为z轴建立空间直角坐标系．

不妨设AD =AA1＝1，AB＝2，

则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，

C(0，2，0)，A1(1，0，1)，B1(1，2，1)，C1(0，2，1)，D1(0，0，1)．

因为＝λ，所以，于是(－1，0，－1)．

所以．

故D1EA1D．                                                          5分

（2）因为D1D⊥平面ABCD，所以平面DEC的法向量为n1＝(0，0，1)．

又，(0，－2，1)．

设平面D1CE的法向量为n2＝(x，y，z)，

则n2·，n2·，

所以向量n2的一个解为．

因为二面角D1—EC—D的大小为，则．

解得±－1．

又因E是棱AB上的一点，所以λ＞0，故所求的λ值为－1．               10分

(1)证明过程详见解析;（2）  （3）存在

试题分析：

（1）据题意，要证明，由线面垂直的性质例一得到只需要证明DC面ABD，又有面ABD与面BCD垂直，故根据面面垂直的性质，只需要证明DC垂直于面ABD与面BCD的交线BD,DC与BC垂直的证明可以放在直角梯形中利用勾股定理与余弦定理证明，三角形BCD为直角三角形.

（2）由（1）得平面，所以．以点为原点，所在的直线为轴，所在直线为轴，利用三维空间直角坐标系即可求的点面距离，即首先求出线段MC与面ADC的法向量的夹角，再利用三角函数值即可求的点面距离.此外，该题还可以利用等体积法来求的点面距离，即三棱锥M-ADC的体积，分别以M点为顶点和以A点为定点来求解三棱锥的体积，解出高即为点面距离.

（3）该问利用坐标法最为简洁，在第二问建立的坐标系的基础上，设,，利用来表示N点的坐标，求出面ACD的法向量，法向量与AN所成的夹角即为与平面所成角为的余角，利用该条件即可求出的值，进而得到N点的位置.

试题解析：

（1）证明：因为，

，，所以，，                      1分

，  2分

 ，所以        3分．

因为平面平面,平面平面，

所以平面                      4分．

又平面，所以          5分．

（2）解法1：因为平面，所以．以点为原点，所在的直线为轴，所在直线为轴,过点作垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知，得，，，，．所以，，．  7分．设平面的法向量为，则，，所以令，得平面的一个法向量为   9分

所以点到平面的距离为         10分．

解法2：由已知条件可得，，所以．

由（1）知平面，即为三棱锥的高，

又，所以          7分．

由平面得到，设点到平面的距离为，

则                8分．

所以，，                          9分．

因为点为线段中点，所以点到平面的距离为  10分．

解法3：因为点为线段的中点，所以点到平面的距离等于点到平面的距离的．  6分 由已知条件可得，由（I）知,又，

所以平面，                             8分

所以点到平面的距离等于线段的长．       9分

因为，所以点到平面的距离等于．  10分

（3）假设在线段上存在点，使得与平面所成角为  11分．

设,，，则，所以，．                              12分 

又平面的一个法向量为，且直线与平面所成的角为，

所以， 即，

可得， 解得或（舍去）．   13分

综上所述，在线段上是否存在点，使得与平面所成角为，

此时．      14分．

(1)见解析   (2)存在，

解：(1)证明，如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D­xyz，

则D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)．设E(1，t,0)，

则＝(1，t，－1)，＝(－1,0，－1)，

∴·＝1×(－1)＋t×0＋(－1)×(－1)＝0，

∴D1E⊥A1D.

(2)假设存在符合条件的点E.设平面D1EC的法向量为n＝(x，y，z)，

由(1)知＝(－1,2－t,0)，

则得

令y＝，则x＝1－t，z＝1，

∴n＝是平面D1EC的一个法向量，

显然平面ECD的一个法向量为＝(0,0,1)，

则cos〈n，〉＝

＝＝cos，

解得t＝2－ (0≤t≤2)．

故存在点E，

当AE＝2－时，二面角D1­EC­D的平面角为.

（1）详见解析；（2）点满足.

试题分析：（1）由面ACC1A1⊥面ABCAB⊥面ACC1A1AB⊥CD，由D为AA1中点，AC=A1C可推出CD⊥AA1，从而得到CD⊥面ABB1A1.（2）由题意，以点C为坐标系原点，CA为x轴，过C点平行于AB的直线为y轴，CA1为z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，求平面面A1C1A的一个法向量、平面EA1C1的一个法向量，利用向量法求解.

（1）【证】∴面ACC1A1⊥面ABC，AB⊥AC

∴AB⊥面ACC1A1，即有AB⊥CD；

又AC=A1C，D为AA1中点，则CD⊥AA1  ∴CD⊥面ABB1A1.（6分）

（2）【解】如图所示以点C为坐标系原点，CA为x轴，过C点平行于AB的直线为y轴，CA1为z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，则有A(a,0,0),B(a,a,0),A1(0,0,a), B1(0,a,a)

C1(-a,0,a)，设，且，

即有

所以E点坐标为

由条件易得面A1C1A的一个法向量为

设平面EA1C1的一个法向量为，

由可得

令y=1，则有，（9分）

则，得，

∴当时，二面角E-A1C1-A的大小为.（12分）

(1)平详见解析；(2).

试题分析：平面底面，，所以平面，所以，故可以为原点建立空间直角坐标系.根据题中所给数据可得，

(1)由数量积为0，可得由此得，，由此得平面.(2) 由于平面，所以平面的法向量为.由，，可得，所以.又.设平面的法向量为，

由,得，取得.由于二面角为，所以，解此方程可得的值.

试题解析：(1)平面底面,,所以平面,

所以,以为原点建立空间直角坐标系.

则

,,所以,,

又由平面,可得,所以平面

(2)平面的法向量为

,,所以，

设平面的法向量为,,，

由,,得 所以,,所以，

所以，注意到，得.

（1）见解析（2）

(1)证明：取AC中点E，联结BE，以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系E－xyz，则B(，0，0)，C(0，2，0)，P(0，－1，)．

于是＝(－，－1，)，＝(－，2，0)．

因为·＝(－，－1，)·(－，2，0)＝0，所以⊥，

所以BP⊥BC，所以△PBC为直角三角形．

(2)由(1)可得，A(0，－2，0)．

于是＝(0，1，)，＝(，1，－)，＝(0，3，－)．

设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，

则即

取y＝1，则z＝，x＝.

所以平面PBC的一个法向量为n＝(，1，)．

设直线AP与平面PBC所成的角为θ，

则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，

所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为.

（1）详见解析；（2）

试题分析：（1）根据题目提供的条件，可以建立空间直角坐标系，利用空间向量来解决问题，先求平面的法向量，然后说明AF的方向向量与平面PEC的法向量垂直即可；（2）可设，然后利用空间向量的夹角公式来求二面角，帮助我们建立方程，解方程即可.

试题解析：（1）由已知，两两垂直，分别以它们所在直线为轴建立空间直角坐标系．

则，，则

，，，

设平面的法向量为

则，

令得 

由，得

又平面，故平面 

（2）由已知可得平面的一个法向量为，

设，设平面的法向量为

则，令得

由，

故，要使要使二面角的大小为，只需 

（1）证明见详解；（2）不存在，理由见解析．

试题分析：（1）以为坐标原点，以、分别为轴、轴建立空间直角坐标系，然后通过证明向量与平面平面的法向量垂直；本小题也可考虑通过证明平面平面来证明；（2）由条件知二面角为直二面角，因此可通过两个半平面的法向量互相垂直，即其数量积为通过建立方程来解决．

试题解析：（1）法一：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，

则设，

由，

从而于是，，

平面的一个法向量为，

又，，从而平面．

法二：因为，平面，所以平面，因为平面平面，且，所以平面．同理，平面，所以，从而平面．所以平面平面，从而平面．

（2）解：由（1）中解法一有：，，

。可求得平面的一个法向量，平面的一个法向量，由，即，又，，由于，

所以不存在正实数，使得二面角的大小为．