空间向量及其运算_章节学习

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题型：填空题

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填空题

在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________．

正确答案

试题分析：如图，

建立空间直角坐标系Dxyz，则D1(0，0，1)，C1(0，2，1)，A1(1，0，1)，B(1，2，0)，

∴＝(0，2，0)，设平面A1BC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，由令y＝1，得＝(2，1，2)，

设D1C1与平面A1BC1所成角为θ，则sin θ＝|cos〈，n〉|＝，即直线D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为.

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题型：简答题

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简答题

如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30°的角.

求证:(1)CM∥平面PAD.

(2)平面PAB⊥平面PAD.

正确答案

见解析

建立空间直角坐标系.(1)可证明与平面PAD的法向量垂直;也可将分解为平面PAD内的两个向量的线性组合,利用共面向量定理证明.

(2)取AP中点E,利用向量证明BE⊥平面PAD即可.

【证明】由题意可知:

以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴,CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.

∵PC⊥平面ABCD,

∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角,

∴∠PBC=30°.

∵PC=2,∴BC=2,PB=4.

∴D(0,1,0),B(2,0,0),

A(2,4,0),P(0,0,2),M(,0,),

∴=(0,-1,2),=(2,3,0),

=(,0,).

(1)方法一:令n=(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,则

即∴

令y=2,得n=(-,2,1).

∵n·=-×+2×0+1×=0,

∴n⊥.又CM⊄平面PAD,

∴CM∥平面PAD.

方法二:∵=(0,1,-2),=(2,4,-2),

假设∥平面PAD,

则存在x0,y0使=x0+y0,则

方程组的解为

∴=-+.

由共面向量定理知与,共面,故假设成立.

又∵CM⊄平面PAD,

∴CM∥平面PAD.

(2)取AP的中点E,连接BE,则E(,2,1),

=(-,2,1).

易知PB=AB,∴BE⊥PA.

又∵·=(-,2,1)·(2,3,0)=0,

∴⊥,∴BE⊥DA.又PA∩DA=A,

∴BE⊥平面PAD.

又∵BE⊂平面PAB,

∴平面PAB⊥平面PAD.

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）

如图，四边形是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又

＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°.

（Ⅰ）求证：平面⊥平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

正确答案

证明：（Ⅰ）因为，所以.

又因为，. …………………………………3分

（Ⅱ）由（I）知，在面内的射影必在上，易知.

因为直线与直线所成的角为，所以.

在中，由余弦定理得.

在中，. …………………………….5分

建立如图所示的空间直角坐标系.

由题意知，.

所以，.

………………………………………….7分

设平面的一个法向量为，

则.

取. …………………………………………………9分

又平面的一个法向量为. ………………………………………….10分

设与所成的角为，则. ……………………..11分

显然，二面角为锐角，故二面角的余弦值为.

………………………………………………………………………12分

略

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题型：简答题

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简答题

一个多面体的直观图、正(主)视图、侧(左)视图如图1和图2所示，其中正(主)视图、侧(左)视图均为边长为的正方形.

(Ⅰ)请在图2指定的位置画出多面体的俯视图；

(Ⅱ)若多面体底面对角线AC、BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；

(Ⅲ)求该多面体的表面积．

正确答案

解：（Ⅰ）略

（Ⅱ）证明：如图，连结AC、BD，交于O点．

∵E为AA1的中点，O为AC的中点．

∴在△AA1C中，OE为△AA1C的中位线，

∴OE∥A1C.

∵OE⊄平面A1C1C，A1C⊂平面A1C1C，

∴OE∥平面A1C1C.

(Ⅲ)多面体表面共包括10个面，SABCD＝a2，

S＝，S＝S＝S＝S＝，

S＝S＝S＝S＝，

所以该多面体的表面积S＝a2＋＋4×＋4×＝5a2.

略

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题型：填空题

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填空题

已知点A(1，t，－1)关于x轴的对称点为B，关于xOy平面的对称点为C，则BC中点D的坐标为________．

正确答案

(1,0,1)

因为A(1，t，－1)关于x轴的对称点为B(1，－t,1)，关于xOy平面的对称点为C(1，t,1)，所以BC中点D的坐标为(，，)，即D(1,0,1)．

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题型：填空题

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填空题

已知则

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E、F、G分别是AB、AD、CD的中点，计算：

(1)·；

(2)·；

(3)EG的长；

(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值．

正确答案

（1）（2）－（3）（4）

解：设＝a，＝b，＝c.

则|a|＝|b|＝|c|＝1，

〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°.

＝BD＝c－a，＝－a，＝b－c，

(1)·＝(c－a)·(－a)

＝a2－a·c＝；

(2)·＝ (c－a)·(b－c)

＝ (b·c－a·b－c2＋a·c)＝－；

(3)＝＋＋

＝a＋b－a＋c－b＝－a＋b＋c.

||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝.

即||＝，

所以EG的长为.

(4)设、的夹角为θ.

＝b＋c，＝＋＝－b＋a，

cosθ＝＝－，

由于异面直线所成角的范围是(0°，90°]，

所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.

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题型：简答题

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简答题

已知四棱锥的底面是等腰梯形，且分别是的中点.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值.

正确答案

（1）详见解析；（2）

试题分析：（1）可证面得，因为分别是的中点即可证。（2）以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，先求各点的坐标然后求向量的坐标，再求面的一个法向量。由已知可知为面的一个法向量，用向量的数量积公式求两法向量所成角的余弦值。两法向量所成的角与所求二面角的平面角相等或互补。

试题解析：（1）分别是的中点.

2分

由已知可知 3分

4分

又

5分

6分

（2）以所在直线为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系. 7分

由题设，，得

8分

设平面的法向量为

可取， 10分

平面的法向量为 11分

13分

由图形可知，二面角的余弦值为 14分

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题型：简答题

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简答题

(本小题共l2分)

如图，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一

P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA．

(I)求证：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；

(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离．

正确答案

略

在中，，

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题型：简答题

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简答题

如图，在直三棱柱中， AB=1，，.

(Ⅰ)证明：；

（Ⅱ）求二面角A——B的余弦值。

正确答案

（1）证：三棱柱为直三棱柱， …1分

在中，,由正弦定理,…………3分

,又 ……5分

（2）解如图，作交于点D点，连结BD，

由线面垂直的性质定理知 …………7分

为二面角的平面角。 ……8分

在 …………9分

略

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