空间向量及其运算
共1844题

空间向量及其运算
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题型：填空题

填空题

若，，是平面内的三点，设平面的法向量，则

正确答案

2：3：（-4）

分析：先根据法向量的定义求出法向量，再确定法向量的坐标的比值即可．

解：=(1，-3，-)，=(-2，-1，-)，?=0，?=0，，x：y：z=y：y：(-y)=2：3：(-4)

故答案为：2：3：（-4）

题型：填空题

填空题

设点在内部，且有，则与面积之比为_____________.

正确答案

延长至，使以与为邻边作平等四边形，设平等四边形对角线交于点，与交于点，于是

因此，、、、、在同一条直线上，并且

连，则平行且等于，于是，

，相除得

题型：简答题

简答题

如右图，正方体的棱长为1．应用空间向量方法求：

⑴ 求和的夹角

⑵ ．

正确答案

（1）

（2）对于线线垂直的证明可以运用几何性质法也可以运用向量法来证明向量的垂直即可。

试题分析：解：建立空间直角坐标系，则

- 1分

⑴ 所以，， - 2分

，

所以 - 4分

所以 5分

⑵ 因为，， 7分

-9分

所以． 10分

点评：主要是考查了向量法来求解异面直线所成的角和线线垂直的证明，属于基础题。

题型：简答题

简答题

已知为锐角△的外心，

若=+,且，求的值.

正确答案

如图,

设=+,则

过作⊥于，则

所以

在△中，

从而,所以

题型：填空题

填空题

已知A(-1，-2，1)、B(2，2，2)，点P在z轴上，且d(P,A)=d(P,B),则点P的坐标为___________.

正确答案

(0，0，3)

∵P在z轴上，∴设P点坐标为(0，0，z).又∵|PA|=|PB|，∴利用距离公式得z=3.

题型：简答题

简答题

在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，底面ABCD是菱形，∠A＝60°，E是AD的中点，F是PC的中点．

(Ⅰ)求证：BE⊥平面PAD；

(Ⅱ)求证：EF∥平面PAB；

正确答案

(Ⅰ)证明：∵AB＝2，∴AE＝1，

∴BE2＝AB2＋AE2－2AB·AE·cos ∠A＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3，

∴AE2＋BE2＝1＋3＝4＝AB2，∴BE⊥AE.

又平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，

∴BE⊥平面PAD.

(Ⅱ)证明：取BC的中点G，连接GE，GF.则GF∥PB，EG∥AB，

又GF∩EG＝G，∴平面EFG∥平面PAB，∴EF∥平面PAB.

(Ⅲ)解：∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC.

∴点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离．

因为平面PBE⊥平面PBC.

又平面PBE∩平面PBC＝PB，

作EO⊥PB于O，则EO是E到平面PBC的距离，

且PE＝＝1，BE＝，∴PB＝2.

由EO·PB＝PE·EB，

∴EO＝＝.

略

题型：简答题

简答题

已知,为直线上的两点，且=(,), ()和()在上的射影分别为,且=,求的值.

正确答案

不妨设(，)，（，），则=（—，—）

从而—=，—=，直线的斜率==

设的方程为=+，则过和垂直的直线方程为=

联立解得（，），同理可解得（，+）

所以=（，）=(,)，

即=，所以=.

题型：简答题

简答题

是△的重心，且，求∠

正确答案

由，可知

所以

不妨设，则，∠

题型：填空题

填空题

已知A、B、C三点不共线，M、A、B、C四点共面，则对平面ABC外的任一点O，有=++t，则t=______．

正确答案

由题意由题意A、B、C三点不共线，M、A、B、C四点共面，则对平面ABC外的任一点O，有=++t，

∴可得++t=1，解得t=

故答案为

题型：填空题

填空题

已知|a|=|b|=2，，则a 与b的夹角为______

正确答案

试题分析：根据题意，由于|a|=|b|=2，，那么可知，故可知向量a,b的夹角为故可知a 与b的夹角为。

点评：主要是考查了向量的数量积的性质的运用，属于基础题。

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