空间向量及其运算
共1844题

空间向量及其运算
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题型：填空题

填空题

已知向量，则向量的夹角为 .

正确答案

试题分析：，所以，=，故答案为.

题型：简答题

简答题

（本小题满分12分）已知=(2,1),=(1,7),=(5,1).设M是直线OP上的一点（其中O为坐标原点），当取最小值时：

（1）求；

（2）设∠AMB=θ，求cosθ的值.

正确答案

（1）t=2时，最小，这时=（4，2）.（2）.

本试题主要是考查了向量的共线的运用，以及向量的数量积公式的运用，求解三角方程。

（1）=t，则=(2t,t),=(1-2t,7-t),=(5-2t,1-t).

，利用=5t2-20t+12=5(t-2)2-8.

取得最小值时的t的值得到结论。

（2）由=(-3,5)，=(1,-1),结合向量的数量积公式得到角的值。

解：设=t，则=(2t,t),=(1-2t,7-t),=(5-2t,1-t).

=5t2-20t+12=5(t-2)2-8.

∴t=2时，最小，这时=（4，2）.

（2）由=(-3,5)，=(1,-1),

∴cosθ=.

∴cosθ的值是.

题型：简答题

简答题

已知向量，，其中为原点．

(1) 若，求向量与的夹角；

(2) 若，求．

正确答案

（1）；（2）.

(1)根据向量夹角的定义和两角和的三角函数；（2）向量模的求法。

解：（1）

．．．．．．．7分

（2）当时，．．．．．．．．14分

题型：填空题

填空题

设向量，则向量与向量共线的充要条件是_________;

正确答案

试题分析：由题意可知，向量与向量共线，则，故.

题型：填空题

填空题

已知向量若∥，则=_______.

正确答案

∵且∥，∴，∴，∴=

题型：填空题

填空题

已知：={2，-3，1}，={2，0，-2}，={-1，-2，0}，=2-3+，则的坐标为______．

正确答案

∵=(2，-3，1)，=(2，0，-2)，=(-1，-2，0)

∴=2- 3+=2(2，-3，1)-3(2，0，-2)+(-1，-2，0)

=（4，-6，2）-（6，0，-6）+（-1，-2，0）

=（-3，-8，8）

故答案为：（-3，-8，8）

题型：简答题

简答题

本题满分14分）已知向量与共线，设函数．

（I）求函数的周期及最大值；

（II）已知锐角 △ABC 中的三个内角分别为 A、B、C，若有，边 BC＝，，求 △ABC 的面积．

正确答案

（1）；（2）。

本试题主要是考查了三角函数与解三角形的综合运用。

（1）利用向量与共线，，得到关于f(x)的表达式，进而求解周期和最值。

（2）在第一问的基础啊上可知角A，然后利用正弦定理和三角形面积公式得到结论。

（1）因为，所以

则，所以,

当 ┄┄┄┄┄┄┄6分

（2）

┄┄┄┄┄┄┄┄14分

题型：简答题

简答题

已知向量满足，且．

（1）、求向量的坐标；（2）、求向量与的夹角．

正确答案

（1）；（2）

（1），又∵ 已知，且

∴

解得 ∴

（2）设向量与的夹角 ∵

∴

∵ ∴向量与的夹角

题型：简答题

简答题

已知．

（1）若，求的值；

（2）若，且，求的值．

正确答案

（1）；（2）7.

试题分析：（1）利用向量数量积的坐标表示，可转化为三角函数，然后利用利用三角函数的相关公式对其变形，则可求解；（2）利用向量数量积的坐标表示，可转化为角的三角函数，然后利用角之间的关系，使用两角和与差的三角函数相关公式可求解.

试题解析：（1）解：（1）∵

∴

（2）∵∴，，

==7

题型：填空题

填空题

已知，若，则的值为　　．

正确答案

因为已知，因为，则的值为-14，故答案为-14.

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