空间向量及其运算
共1844题

空间向量及其运算
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题型：填空题

填空题

已知向量，，则的坐标为。

正确答案

试题分析：根据题意，由于向量，，则可知,故可知答案为。

点评：解决的关键是根据向量的减法运算来得到，属于基础题。易错点是方向的确定。

题型：填空题

填空题

设、是平面内两个不平行的向量，若与平行，则实数 .

正确答案

试题分析：不妨假设，则，因为，所以.

题型：填空题

填空题

已知点，，若动点满足，则点的轨迹方程为________ .

正确答案

试题分析：设坐标为则，又,则=，所以+=0化为.

题型：填空题

填空题

设R,向量,，且，,则.

正确答案

由,由,故.

题型：填空题

填空题

.已知向量，若，则16x＋4y的最小值为____ ____。

正确答案

解：∵ a ⊥ b ， a =(x-1，2)， b =(4，y)

∴4（x-1）+2y=0即4x+2y=4

∵16x+4y=24x+22y≥

当且仅当24x=22y即4x=2y=2取等号

故答案为8

题型：填空题

填空题

已知向量，如果∥，则k=

正确答案

,,.

题型：填空题

填空题

设，，若，则实数________．

正确答案

试题分析：因为，又，所以，答案，.

题型：填空题

填空题

已知＝(1,2)，＝(-2,k)，若∥(+)，则实数的值为．

正确答案

-4

试题分析：因为＝(1,2)，＝(-2,k)，所以+=（-1,2+k），因为∥(+)，所以1×（2+k）+2=0，解得，k=-4.

点评：熟记向量平行和垂直的条件，设：

非零向量垂直的充要条件：；

向量共线的充要条件：。

题型：填空题

填空题

已知直线y＝2x上一点p的横坐标为a，有两个点A（－1,1）、B（3，3），使向量与的夹角为钝角，则a的取值范围是　　　　　。

正确答案

解：由题意知P点的坐标为（a，2a）， PA =（-1-a，1-2a）， PB =（3-a，3-2a）．

由向量 PA 与 PB 的夹角为钝角，得： PA • PB =（-1-a，1-2a）•（3-a，3-2a）

=（-1-a）（3-a）+（1-2a）（3-2a）=5a2-10a＜0，

∴0＜a＜2，但是当a=1时， PA ， PB 反向共线，其夹角为π，

则向量 PA 与 PB 的夹角为钝角的充要条件是0＜a＜2且a≠1．

故答案为：0＜a＜2且a≠1．

题型：简答题

简答题

在ABCD中，A（1，1），=（6，0），点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.

（1）若=（3，5），求点C的坐标；

（2）当||=||时，求点P的轨迹.

正确答案

（1）C（10，6）（2）P的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半径的圆去掉与直线y=1的两个交点

（1）设点C坐标为（x0，y0）,

又=+=（3，5）+（6，0）=（9，5）,

即（x0-1,y0-1）=（9，5），

∴x0=10，y0=6，即点C（10，6）.

（2）由三角形相似，不难得出=2

设P（x,y），则

=-=（x-1，y-1）-（6，0）=（x-7，y-1）,

=+=+3

=+3（-）

=3-=（3（x-1），3（y-1））-（6，0）

=（3x-9，3y-3），

∵||=||，∴ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，

∴⊥，即（x-7，y-1）·（3x-9，3y-3）=0.

（x-7）（3x-9）+（y-1）（3y-3）=0，

∴x2+y2-10x-2y+22=0（y≠1）.

∴（x-5）2+（y-1）2=4（y≠1）.

故点P的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半径的圆去掉与直线y=1的两个交点.

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