空间向量及其运算
共1844题

空间向量及其运算
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题型：单选题

单选题

在正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是AC的中点，AB1⊥BC1，则平面DBC1与平面CBC1所成的角为(　　)

A30°

B45°

C60°

D90°

正确答案

题型：单选题

单选题

若直线l的方向向量为a＝(1，－1,2)，平面α的法向量为u＝(－2,2，－4)，则(　　)

Al∥α

Bl⊥α

Cl⊂α

Dl与α斜交

正确答案

题型：简答题

简答题

如图所示，在底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，设M是上底面A1B1C1D1的中心．

（1）化简+（+）；

（2）若=x+y+z，求实数x，y，z的值．

正确答案

解：（1）在底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，M是上底面A1B1C1D1的中心；

∴+（+）=+（+）

=；

（2）∵=+

=+（+）

=+（-+）

=-++，

且=x+y+z，

∴x=-，y=，z=1．

解析

解：（1）在底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，M是上底面A1B1C1D1的中心；

∴+（+）=+（+）

=；

（2）∵=+

=+（+）

=+（-+）

=-++，

且=x+y+z，

∴x=-，y=，z=1．

题型：单选题

单选题

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，=，=，=，=，且E、F分别为AB、CD的中点，则（　　）

正确答案

解析

解：根据梯形中位线定理可得：===，

故选：C．

题型：单选题

单选题

直线l的方向向量=（1，-3，5），平面α的法向量=（-1，3，-5），则有（　　）

Al∥α

Bl⊥α

Cl与α斜交

Dl⊂α或l∥α

正确答案

解析

解：∵=（1，-3，5），平面α的法向量=（-1，3，-5），

∴．

∵，

∴l⊥α．

故选：B．

题型：填空题

填空题

已知点A（1，-2，0）和向量=（-3，4，12），若=2，则点B的坐标为______．

正确答案

∵向量=（-3，4，12），=2，

∴=（-6，8，24）

∵点A（1，-2，0）

∴B（-6+1，8-2，24-0）=（-5，6，24）

故答案为：（-5，6，24）

题型：填空题

填空题

已知：={2，-3，1}，={2，0，-2}，={-1，-2，0}，=2-3+，则的坐标为______．

正确答案

∵=(2，-3，1)，=(2，0，-2)，=(-1，-2，0)

∴=2- 3+=2(2，-3，1)-3(2，0，-2)+(-1，-2，0)

=（4，-6，2）-（6，0，-6）+（-1，-2，0）

=（-3，-8，8）

故答案为：（-3，-8，8）

题型：简答题

简答题

已知空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4），设=，=．

（Ⅰ）求和的夹角θ的余弦值；

（Ⅱ）若向量k+与k-2互相垂直，求实数k的值；

（Ⅲ）若向量λ-与-λ共线，求实数λ的值．

正确答案

==(1，1，0)，==(-1，0，2)．

（Ⅰ）cosθ===-，

∴和的夹角θ的余弦值为-．

（Ⅱ） k+=(k-1，k，2)，k-2=(k+2，k，-4)

∵向量k+与k-2互相垂直，

∴(k+)•(k-2)=(k-1，k，2)•(k+2，k，-4)=（k-1）（k+2）+k2-8=2k2+k-10=0

∴k=-，或k=2．

（Ⅲ） λ-=(λ+1，λ，-2)，-λ=(1+λ，1，-2λ)

∵向量λ-与-λ共线，∴存在实数μ，使得λ-=μ(-λ)

即（λ+1，λ，-2）=μ（1+λ，1，-2λ）∴

∴λ=1，或λ=-1．

题型：填空题

填空题

已知A（1，-1，2），B（5，-6，2），C（1，3，-1），则在上的投影为______．

正确答案

∵A（1，-1，2），B（5，-6，2），C（1，3，-1），

∴=(4，-5，0)，

=(0，4，-3)，

∴在上的投影=||cos＜，＞

=×

=-4．

故答案为：-4．

题型：单选题

单选题

直线2x-3y+10=0的法向量的坐标可以是

[ ]

A（-2，3）

B（2，3）

C（2，-3）

D（-2，-3）

正确答案

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